partie des infinis. Le quotient -j, — n ayant plus d'infinis, est

constant: donc f(z) a autant de zéros que F [z). Ainsi, dans chaque groupe, le nombre des zéros de la fonctiony(^) est le même que celui des infinis. Si maintenant on appelle F (2) la fonction simplement périodique qui admet ces infinis et ces

zéros, le quotient -— — ; étant constant . on volt que la fonction

f{z) est elle-même simplement périodique.

Si la fonction périodique n'était pas monodrome et prenait ni valeurs pourchaque valeur de z, elle serait racine d'une équation algébrique du degré m, ayant pour coefficients des fonctions périodiques monodromes; car toute fonction symétrique des m valeurs de la fonction est une fonction monodrome.

Il résulte de là que Ton peut caractériser l'ordre ou le degré d'une fonction simplement périodique par le nombre des infinis qu elle admet dans chaque bande. Si elle est monodrome et admet 71 infinis, elle s'exprimera par une fraction ration-

nelle en a '■" du degré ?z.

o9. Cherchons maintenant la relation qui existe entre une fonction monodrome simplement périodique ^ qui ne devient

infinie pour aucune valeur finie de z et la fonction u = c '-" . A chaque valeur de // correspond une série de valeurs de z données par la formule z -f- m o); mais à toutes ces valeurs de z ne correspond qu une seule valeur de u : ainsi u est monodrome par rapport à u\ d'ailleurs cette valeur de ^ est toujours finie, excepté pour w = o et z/ = co . Il en résulte que (^ est développable en une double série convergente ordonnée suivant les puissances entières positives et négatives de u (30), ce qui donne la série de Fourier,

LIVUE II.

CIlAriTRE III.

60. Proposons-nous d'abord d'étudier la fonction définie par l'équation difTérentielle

(ï) —- = sl{jt[u—a){u — b)[u — c),

clz

et la valeur initiale ii =z o pour z = o. Il faut encore indiquer le signe avec lequel on prend le radical pour z=: o-^ nous désignerons par U^ cette valeur initiale du radical. Cette fonction ne peut cesser d'être monodrome que lorsqu'elle devient infinie ou égale à l'une des quantités ^r, Z>, c, pour lesquelles le radical s'annule. Supposons que pour z=: z^ la fonction u devienne égale h. a \ si l'on pose

u ■= a -\- u'^ , on a

du' 1 ,__ . ___ __

dz 1 ^

Le radical étant fonction monodrome de m', pour les valeurs de z/ suffisamment petites, il en résulte que u\ et par suite u^ reprend la même valeur quand la variable z tourne autour du. point z^.

Mais u peut devenir infinie pour une valeur finie de z \ car l'intégrale

tend vers une valeur finie quand u s'éloigne indéfiniment suivant une direction quelconque. Soit donc a une valeur finie de z pour laquelle u devient infinie. Posons

l'ëquation diiTëreiilielle devient

— = — v'G M (i — «*')(» — b*'){i — ^<0 • Si l'on fait ensuite elie se réduit à

de' I /—-;

et l'on a P^= o pour z^ =z o. La fonction i^ définie par l'équation (2) restant monodrome dans le voisinage de 2'= o, il en est de même de la fonction u. On conclut de là que u est une fonction monodrome de z dans toute l'étendue du plan. Etudions maintenant la fonction inverse

Fig. 12.

Dans le plan qui sert à figurer la variation de u, marquons les trois points a, è, c [fig^ 12)5 désignons, comme nous l'avons fait précédemment, par (A), (B), (C) les trois contours

élémentaires correspondants , et appelons A, B, C, les valeurs de l'intégrale définie relative à ces contours. Tous les chemins qui vont de l'origine à un point quelconque M du plan peuvent être ramenés au chemin rectiligne OM, ou à ce chemin rectiligne précédé de l'un des contours élémeiii taires ou d'une combinaison de ces contours j appelons z la valeur de l'intégrale rectiligne OM. Tous les chemins qui se ramènent au chemin rectiligne, sans passer par l'un des points a, &, c, donnent la même valeur z. Supposons que la variable u décrive d'abord le contour élémentaire (A) , le radical, changeant de signe, reviendra à l'origine avec la valeur — U^, de sorte que, si u parcourt ensuite le chemin rectiligne OM, l'intégrale prendra la valeur — -z, en tout A — z. Supposons maintenant quo

70 LIVRE ir.

la variable //, après avoir déciit le contour (A), décrive ensuite un autre contour élémentaire ( B) : par un second changement de signe, le radical reviendra à Forigine avec sa valeur initiale U^,, l'intégrale ayant alors la valeur A — B : si l'on marche ensuite suivant un chemin, quelconque, on voit que l'intégrale sera augmentée de la quantité constante A — B; par exemple, si l'on suit le chemin rectiligne OM, on aura A — B -\- z. La variable u pouvant décrire le double contour (A) H- (B) autant de fois que l'on veut, l'intégrale sera augmentée d'un multiple quelconque de la quantité constante w = A — B, qui constitue ainsi une première période. On aura de même deux autres périodes 0)'= A — C, 0)^'= B — C ^ mais comme on" = m' — w, cette troisième rentre dans les deux premières. Si Ton parcourait deux fois successivement le même contour (A), on reviendrait à la valeur initiale U^ du radical, mais la valeur de l'intégrale A — A serait nulle. Ainsi il n'y a pas d'autres périodes que les deux que nous venons de trouver.

Il résulte de ce qui précède qu'à chaque valeur de u correspondent deux séries de valeurs de z représentées par les formules

dans lesquelles m et m' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Les valeurs B — ^, G — z, que Ton obtiendraiten parcourant, d'abordl'un des contours (B) ou(C), puis le chemin rectiligne OM, rentrent dans la seconde série ; carB==:A-HB — A r= A — w,C==B-i-C— A = A — w^ Réciproquement on conclut de là que w est une fonction monodrome Fig- i^- do z doublement périodique;

quand la variables augmente ou diminue defunedes quan* tités w et (ù\ la fonction u rc prend la même valeur.

Dans le plan qui sert ài figurer la variation de z^ por-tons à la suite les unes de^« autres les longueurs ooi, OiOz, 0,03,... (fig. i3), égales^.

ORIGINE DES FONCTIOIVS DOUBLEMEIST PÉRIODIQUES. Jl

la première période w, les longueurs oo' y o'o"^ o"d'\-..^ égales à la seconde période co' ^ par les points o, o', o'',..., menons des parallèles à oo^^ et par les points o, Oi, o^,..., des parallèles à oo' : ces parallèles diviseront le plan en parallélogrammes égaux, dans lesquels la fonction u reprendra périodiquement la même valeur. Dans chaque parallélogramme, la fonction ii passe deux fois par tous les états de grandeur, et la somme des deux valeurs de z qui correspondent à la même valeur de m est constante et égale à A, en négligeant les multiples des périodes. La fonction, dans chaque parallélogramme, admet deux zéros simples, z = o, z=:A, et un infini

double z = —'^ car l'équation ( 2 ) montre que z' = o ou z = ce

est un zéro simple pour v^ et par conséquent un infini double pour M.

61. La méthode précédente s'applique sans difficulté à l'équation dilîerentielle

dit

(3) z= v^G (« — «)(« — è) (u — c){ii — d],

à laquelle on joint les conditions u = o, —- = U^, pour z =0.

La fonction u reste monodrome même dans le voisinage des valeurs «, 5, c*, d, pour lesquelles la dérivée cesse d'être monodrome par rapport à u. Soit a une valeur de z qui rend a infinie -, si Ton pose

l'équation devient

di^

et l'on a la condition p' = o pour z' = o. La fonction t^ lestant monodrome dans le voisinage de 2'= o, il en est de même de u. Ainsi la fonction u est monodrome dans toute retendue du plan.

Considérons maintenant la fonction inverse

Jo '

\/G {u — a) {u ~ b) {u — c) [u — d) Dans le plan relatif à la variable u, marquons les quatre Fig. 14. points a, b, c^ d {fîg. i4),

dans Tordre où ils se présentent quand on fait tourner le rayon vecteur dans un sens déterminé , et considérons les contours élémentaires qui enveloppent ces différents points. Comme nous l'avons expliqué plus haut, quand la variable z/ parcourt successivement deux contours élémentaires, on ramène à l'origine, par deux changements de signe, la valeur initiale du radical 5 il en résulte les six périodes

Mais ces six périodes ne sont pas distinctes^ on remarque d'abord que les trois dernières, étant des combinaisons des trois premières, rentrent dans celles-ci. Nous allons faire voir maintenant que les trois premières périodes se réduisent à deux.

De l'origine comme centre, avec un très-grand rayon OL, décrivons un cercle, et supposons que la variable 11 parcoure d'abord la droite OL, puis décrive la circonférence dans le sens indiqué par la flèche, et revienne à l'origine par la droite- LO. Ce contour fermé équivaut évidemment à la somme des quatre contours élémentaires (A) H- (B) -f- (C) -^- (D), parcourus dans l'ordre indiqué, ce qui donne l'intégrale A — B H- C — D. Le radical, ayant éprouvé quatre changements de signe, reprend à l'origine sa valeur initiale U,, *, quand la variable, après avoir parcouru la droite OL, a décrit la grande circonférence, le radical reprend au point L la même valeur, et par suite la

seconde intégrale LO détruit la première OL ; il reste à évaluer l'intégrale circulaire. Si l'on pose z = re^' , cette intégrale a par expression

quand le rayon augmente indéfiniment, cette intégrale tend vers zéro. Comme l'intégrale relative au contour formé OLL'LO est nulle, il en résulte la relation

A — B + G — D = od'où

ce qui fait rentrer la troisième période A — D dans les deux premières. Ainsi la fonction u est doublement périodique; elle admet les deux périodes w==A — B, w' = A — C.

Si l'on néglige les multiples des périodes, on voit qu'à chaque valeur de w correspondent deux valeurs de z, savoir: l'intégrale rcctiligne z et A — ^, les autres valeurs B — ^, C — z^ D — z rentrant dans la seconde par des additions de périodes. La somme de ces deux valeurs est constante et égale à A.

Dans chaque parallélogramme des périodes, la fonction ii passe deux fois par tous les états de grandeur \ elle admet deux zéros simples z = o, ^ = A, et deux infinis simples z =. a^ z =jS. L'équation (4) montre, en effet, que-z = a est zéro simple-pour p» et, par conséquent, infini simple pour u.

6î2. 11 résulte de ce qui précède que, lorsque le polynôme placé sous le radical est du troisième ou du quatrième degré, la fonction définie par l'équation différentielle est monodrome et doublement périodique. Il est aisé de voir que, si le polynôme était d'un degré supérieur au quatrième, la fonction u cesserait d'être monodrome.

Considérons en général l'équation

F («) désignant un polynôme entier du degré w, et soit a une

valeur Unie de z pour laquelle u devient infinie. Si l'on pose

l'équation dillérenlielle devient et l'on a

Quand le degré m du polynôme F (w) ne surpasse pas 4, le nouveau coefficient différentiel V conserve une valeur unie pour p* = o, et par suite, en vertu de ce qui précède, la fonction r reste monodrome quand z tourne autour de a. ^

Lorsque le polynôme est d'un degré supérieur à 4, le coefficient différentiel V devient infini pour v = o, et la fonction p» n'est plus monodrome. Supposons d'abord que le polynôme F ( u) soit d'un degré pair i «, on aura

d'où l'on déduira pour V une expression de la forme „ a -^-b y -\- ...

En vertu du théorème II (livre II, chapitre I), quand z tourne autour du point a, la fonction i^ prend ri — i valeurs, qûi se permutent les unes dans les autres circulairement.

Si le polynôme est du degré impair m = 2 /z H- i , on posera

d'où

Le coefficient différentiel de l'équation

ch' V

étant, par rapporta r', un infiniment grand du degré 2 a/-— 2, la

OllIGINE DES FO^CTIOINS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 70

ibiiclion u' et par suite v adinelteiU in — i valeurs en série circulaire, quand z tourne autour du point a.

Lorsque m = 2, u est une fonction de z simplement périodique, qui ne devient infinie pour aucune valeur finie de 2.

Lorsque w = 3 ou m = 4? 1» fonction est doublement périodique et admet deux infinis dans chaque parallélogramme des périodes.

Mais lorsque m est plus grand que 4, le nombre des périodes surpasse en général deux -, dans tous les cas, la fonction n'est plus monodrome et prend une infinité de valeurs en chaque point du plan.