CHAPITRE LV
mOPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT rÉRIODIOUES.
Des périodes.
63. Dans le chapitre précédent, nous avons fait voir comment certaines équations diUérenti elles donnent naissance à des fonctions monodromes et monogènes doublement périodiques. Dans le chapitre actuel, nous nous proposons de démontrer les propriétés fondamentales des fonctions doublement périodiques en général.
On conçoit directement l'existence des fonctions doublement périodiques. Que Ton suppose le plan, dans lequel se meut la variable z, divisé en parallélogrammes égaux ayant pour côtés les deux quantités géométriques o) et 0/, et que Ton se représente une fonction monodrome reprenant la même valeur aux points correspondants de ces divers parallélogrammes^ on aura une idée très-nette d'une fonction doublement périodique^ mais en général celte fonction ne sera pas monogène .
Pour qu'il ait réellement deux périodes, il faut que le rap-
port — soit imaginaire j aulrement, les deux quantités geome-
triques o) et w' ayant la même direction , les parallélogrammes se réduiraient à des lignes droites. 11 est aisé de voir que, lorsque le rapport des périodes est réel et commensurable, les deux périodes se réduisent à une seule j en effet, soit (à = n(x>'\ (ù' =1 n' (ji'\ n et n! étant des nombres entiers premiers entre eux: on a
p (ti -\- q (ji' =z (pn -\- qn' ) w" ;
les combinaisons des deux périodes sont des multiples de w'^, et réciproquement, comme on peut choisir p el q àe manière que pn -{- qn! soit égal à un entier donné, ces combinaisons donneront tous les multiples de (ù" -^ ainsi les deux périodes tù et 0)' se ramènent à la seule période w" et la fonction est simplement périodique. Supposons le rapport des périodes réel, mais incommensurable 5 ce cas peut être considéré comme la limite de celui où les deux périodes admettent une commune mesure o)'', infiniment petite j la fonction, reprenant la même valeur à des distances infiniment petites w^', serait une constante. Ainsi, dans toute fonction doublement périodique, le rapport des périodes est imaginaire.
64. On peut choisir d'une infinité de manières les périodes d'une fonction doublement périodique. Pour fixer les idées, supposons la fonction monodrorae et monogène. Soit o un point quelconque du plan pour lequel la fonction a la valeur Uq et la dérivée la valeur u^ (fig- iS)^ à ce point en correspondent une infinité d'autres pour lesquels la fonction et sa dérivée reprennent les mêmes valeurs Uq, u^. Joignons deux quelconques de ces points o et o^ ,• si, sur la droite ooi, et dans l'intervallç de o à Oi , il n'y a aucun autre point, on pourra prendre la grandeur géométrique 00 1 comme une prennèrc période u). Car, la fonction et sa dérivée
Fig. i5.
PROPRIÉTÉS GÉJV. DES FOUCTIOJSS DOUBL. PÉRIODIQUES. ^^
ayant chacune la même valeur en o et en Oi, si l'on fait mouvoir la variable z, à partir de ces points, suivant des lignes égales et parallèles , la fonction et sa dérivée auront constamment la même valeur aux points correspondants. Il en résulte que, sur la droite indéfinie ooi, existent une infinité de points correspondants o, Oj, O2,..., séparés par le même intervalle w. Maintenant faisons mouvoir cette droite parallèlement à ellemême, jusqu'à ce qu'elle rencontre un autre point o' ^ dans cette seconde position, la droite contiendra une nouvelle file de points correspondants o', o, , o'^ , . . . , séparés par le même intervalle w. Si l'on joint deux points quelconques o, o' de ces deux files parallèles, la grandeur géométrique 00' pourra servir de seconde période ^ il est évident que sur la droite infinie 00' se trouvent aussi une infinité de points correspondants o, o', o'^.., à la distance w' les unes des autres ; on a ainsi deux séries de files égales et parallèles.
Ces deux séries de files parallèles divisent le plan en une infinité de parallélogrammes égaux entre eux, qui ne renferment dans leur intérieur aucun des points o, Oi,... o', Il
est clair que la fonction et sa dérivée ont respectivement la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Nous appellerons parallélogramme élémentaire l'un quelconque d'entre eux , par exemple le parallélogramme oOi^o\ o .
65. Nous avons vu que Ton peut former d'une infinité de manières le parallélogramme élémentaire. Désignons par w et «'certaines périodes formant un parallélogramme élémentaire. Deux périodes nouvelles «i et w, étant des grandeurs géométriques allant du point o à deux points homologues, on aura
6), = />&> -f- q w', &>', = p' M -{- q^ oi' .
Pour que ces deux périodes w^ et w', puissent remplacer les deux premières, et former un nouveau parallélogramme élémentaire, il faut d'abord que^^ et ç soient premiers entre eux, ainsi que p' et ç' : il faut en outre que w et o)' soient réciproque-
yS LIVllE II.
ment des combinaisons de Wj et w'^ ; ce ([ui exige que les nombres entiers /?, r/, //', f/ vérifient la relation pq' — qp' ==: zt i .
Celte condition exprime que les deux parallélogrammes sont équivalents. En effet, soient
w = « H- bi^ oi' = a' -\- b' i' ; Faire du premier parallélogramme est
±:{ab' — ba'), celle du second
Zï:{{pa -+- qa')[p'b-\- q'b')-[pb-\-qb') [p' a + q' a' )] =^±l{pq'—qp')[ab' — ba').
Si la condition pq' — qp' :==z-±l i n'était pas vérifiée, le nouveau parallélogramme serait trop grand, et se composerait de la réunion de plusieurs parallélogrammes élémentaires.
66. Soit le parallélogramme ooio', o' [fig- iS)^ en conservant la première période o), et prenant pour seconde période la droite qui joint le point o à un point quelconque o^ de la seconde file, on obtient un nouveau parallélogramme élémentaire oo^d^ o', , équivalent au premier 5 dans ce cas, les nouvelles périodes sont o) et o/-!-/7 0), ce qui ajoute à Tune des périodes un multiple quelconque de l'autre.
On peut toujours, par une série de transformations pareilles, passer des périodes w, w' aux périodes équivalentes Wj, w, . En
effet, réduisons en fraction continue la fraction - et soient
p, P^ Pn p
q, q^ qn q
les réduites successives ; on a
pqn^qpn=±^ ', mais on a aussi
pq' — qp' =±i\.
On peut supposer que le signe est le même, sans quoi on changerait les signes de // et de q' ^ c'est-à-dire le signe de w'. On en déduit
p'=Pn~hpt,
q'~qn-¥qt,
IROPRIÉTÉS GÉN. DES FONCTIONS DOUBL. PÉRIODIQUES, jg
t étant un nombre entier, et, par suite,
si de la seconde période w', on retranche un multiple toy^ de la première, on remplacera les deux périodes w, et fj)\ par les deux périodes équivalentes
Pn W 4- ^« w' ,
On a de même
Pn f/n-i — qn Pn-i = =F I 5
d'ailleurs
Png — qnP=^li; d'où p =/;„,+ p„ t, ({ = q„, + ^„ t',
et les deux périodes précédentes deviennent
(/?„, w + <7„, w') H- ^' (yy„ oi 4- r/„ w' ) ,
Si de la première on retranche un multiple de la seconde, ou les remplacera par les deux périodes équivalentes
Pn-x w H- </«-' "'j Eu continuant de celte manière, on arrivera aux deux périodes
Mais on peut toujours supposer la fraction - moindre que
l'unité, sans quoi on aurait réduit en traction continue la
fraction - ; dans ce cas, on a /?o = o, <7o = i , /^i = i , et les deux
P dernières périodes obtenues sont w' et o^ ■+- q^ a/ ; une dernière
opération les ramène à w, w'.
Propriétés générales.
67. Les fonctions doublement périodiques, monodromes et monogènes, jouissent de propriétés communes qui résultent de ridée même de la double périodicité. C'est M. Liouville qui, le premier, a envisagé les fonctions doublement périodiques
8o LIVRE 1[.
SOUS ce point de vue tiès-élevé; il a jeté ainsi un grand jour sur cette matière auparavant si obscure.
Théorème I. — Le résidu intégral de toute fonction doublement périodique , nionodrome et inonogène, relatif à Vaire d'an parallélogramme élémentaire, est nul.
M. Caucliy appelle résidu intégral d'une fonction monodrome et nionogèney(<z), relatif à une aire plane donnée, la valeur de l'intégrale ff[z)dz^ prise le long du contour de cette aire et divisée par iTii. D'après ce qui a été dit au n° 20, le résidu relatif à une aire quelconque est égal à la somme des résidus relatifs aux aires infiniment petites qui comprennent les points de l'aire pour lesquels la fonction f[z) devient infinie.
Nous supposons la fonction/ (2) doublement périodique. Fig- 16. Représentons les deux
périodes par AB et AC {fig. 16) ^ des parallèles équi distantes partageront le plan en parallélogrammes dans lesquels la fonction reprendra péri odiquement la même valeur. Considérons le y /" /^'' / résidu intégral de la
I I I I fonction y (2) relatif à
l'aire du parallélogramme ABDC , et l'intégrale définie prise le long du contour de ce parallélogramme, parcouru dans le sens ABDC. La fonction/ (^) étant la même le long des deux côtés opposés AB, CD du parallélogramme, il est évident que l'intégrale définie, prise le long de ces deux lignes, acquiert la même valeur • mais, comme les côtés opposés sont parcourus en sens contraire, les deux portions relatives à ces côtés, dans l'intégrale définie , se détruisent , et de même les deux portions relatives aux deux côtés opposés BD, CA. Ainsi l'intégrale définie, prise le long du contour du parallélogramme est nulle, et par conséquent le résidu intégral est nul.
PROPRIÉTÉS GÉN. DES rO>CÏIO]\'S DOIBL. l'ÉRlODIQL ES. 8l
Ce théorème remarquable, duquel on déduit avec une grande facilité les plus importantes propriétés des fonctions doublement périodiques, a été aperçu pour la première fois par M. Hermite.
08. Théorîîme II. — Toute jonction doiihlenient périodique, monodrome et nionogènc, admet au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire .
La fonction, étant périodique, admet un premier infini dans chaque parallélogramme. Si elle n'avait qu'un infini simple 2 r= a dans un parallélogramme, elle s'écrirait
z — a ^[z] ne devenant plus infinie dans ce parallélogramme 5 le résidu intégral relatif à ce parallélogramme , étant égal à A, ne serait pas nul ; il y a donc au moins un second infini.
Cette propriété sert de base à la belle théorie des fonctions doublement périodiques professée par M. Liou ville au Collège de France.
Si la fonction doublement périodique admet deux infinis simples, 2 = a, z =.^^ dans un parallélogramme, on pourra la mettre sous la forme
ç (z) ne devenant plus infinie dans ce parallélogramme; pour que le résidu soit nul. il faut que B = — A. Si la fonction admet un infini double 2 = a, on aura
JC c
oellicient de la fraction du premiei- degré étant nul
69. Théorème III. — Chaque parallélogramme des périodes renferme autant de zéros que d'infinis.
. . f iz) Considérons la fonction ^ ,/ . • Cette fonction, qui est dou-
blement périodique, conmu.' la fonction proposée^ (r:). n'admet que des infinis simples, savoir les zéros et les infinis de la fonc-
8'i LIVKE II.
lion y (2). En effol , soit a un zéio de degré p de la fonction /"(z), on aura
la fonelion (^ (z) ne devenant ni nulle ni infinie pour z = a *, on en déduit
/(z) z—a cp(z)
Ainsi la quantité a est un infini simple de la fonetion
f'iz)
~7r~T' ^c résidu de eette fonction, relatif à cette valeur a^ est
égal à /7.
De même, soit a un infini de degré q de la fonction f(z)^
on aura
la fonelion cp (z) ne devenant ni nulle ni infinie pour z = a 5 on en déduit
Ainsi la quantité a est un infini simple de la fonction ^ •) et le lésidu correspondant est égal à — q.
Puisque la fonction —77 — :^ e^i doublement périodicruc;, le ré-
sidu intégral de celle fonelion, relatif à Faire du parallélogramme, est nul^ on a donc
ou
On en conclut que, dans chaque parallélogramme, le nombre des zéros de la fonction f{z) est égal au nombre des infinis, en tenant compte du degré de cliacun d'eux.
70. Corollaire. — Désignons par n le nombre des infinis de la fonction /(z) dans chaque parallélogramme, le nombre des zéros est aussi //. La fonctiony(z) — //, c|ui a n infinis, a aussi 11 zéros: ceci montre que, dans chaque parallélogramme, la fonction /^(z) passe // fois par une valeur quelconque 11.
PROPRIÉTÉS GÉN. DES FO>'CTIOJSS DOl BL. PÉRIODIQUES. 83
11 résulte de ce qui précède que l'on peut caractériser Tordre d uue fonction doublement périodique par le nombre de ses infinis dans chaque parallélogramme, puisque ce nombre indique combien de fois la fonction passe par chaque valeur. L'ordre est au moins égal à deux. Les fonctions doublement périodiques, provenant des équations différentielles que nous avons étudiées dans le chapilrc précédent, sont du second ordre.
71 . Théorème 1\ . — La sofrunc des ii valeurs de la variable qui, dans un même parallélogramme, correspondent à une même valeur de la fonction doublement périodique d^ordre ti ^ est constante.
Appelons s,, ^sv? ^n? les n valeurs de z qui, dans un même parallélogramme, correspondent à la même valeur u de la fonction doublement périodique // =. f [z]., et posons
d'où
dX,__dz, dz, dz„
du du du ' ' ' du
A chaque valeur de m, finie ou infinie, correspond une valeur finie de f, augmentée de multiples des périodes, et une seule
valeur du coefficient différentiel —•> qui peut être regardé
comme une fonction de m, monodrome et monogène, ('elle
fonction ne peut devenir infinie pour aucune valeur de u finie
d^ ou infinie; car, si — - devenait infinie pour u = «, on aurait,
en vertu du théorème III (n^ 36),
du [u — a y
et ^ deviendrait infinie, ce qui est impossible. La fonction
~ ne devenant pas infinie, est une constante; de plus, celle
constante est nulle, sans quoi on aurait f = A// -j- B. Donc la quantité ^ est elle-même une constante.
