LI\KK II

72. rHÉOKÈME V. — // existe une fonction doublement périodique du second ordre , monodrome et monogène, ayant deux périodes données o) et w', deux infinis donnés ex. et j^ et deux zéros donnés satisfaisant ci la condition a. -\-^^a-\- b.

Proposons-nous d'abord de former une fonction doublement périodique du second ordre, aux deux périodes w et w', et admettant deux infinis donnés a et (3.

Considérons la double série

w=-f-oo

"*- -^ Oi \ 2 / w

que l'on prolonge indéfiniment à droite et à gauche, en donnant à ni toutes les valeurs entières depuis o à -j- oo et depuis — là — oo .

Nous commencerons par démontrer que cette double série est conveigente. Désignons par ^ = /•+.«' le rapport imaginaire des périodes— 5 et pourlîxer les idées, supposons s ^ o.

Eji remplaçant les cosinus par des exponentielles, le terme général de la série devient

— •imixpi

I z — \ i îir, ^p ( — ( z ) i — TT — i r:

Si m est positif et très-grand, on écrira ce terme sous la forme suivante :

le .e'^ V W

LT ) i -K '- l — TT i

Le module du facteur e^'"^/", étant égal à e"^'"^', est très-petit ; le dénominateur est sensiblement égal à l'unité. La racine m'^""^ du terme général est donc sensiblement égale à

c'est-à-dire à e'^'^P'^ dont le module est é;~-^\ Ainsi, quand //^

PROPRIÉTÉS GÉJV. DES FOiNCTJOJNS DOLBL. PEU lODIO L ES. ST)

augmente iiidéfininieiit, la racine m"'""' du terme général tend vers une limite dont le module est moindre que Tunité, et par conséquent la série, prolongée vers la droite, est convergente. Si m est négatif et très-grand, on changera le signe de w, et l'on arrivera à la même limite e^'^P',

La série (i), étant convergente dans les deux sens, définit une fonction de z. Cette fonction est monodrome, pnisque chaque terme n'a qu'nne valeur pour chaque valeur de z. Il est aisé de voir qu'elle est doublement périodique. D'abord, chaque terme reprenant la même valeur, quand z augmente de w, la fonction admet la première période w. Si 2 augmente de 0/, le premier terme devient égal au second, le second au troisième, etc., en un mot tous les termes marchent d'un rang vers la droite ^ puisque la série est convergente dans les deux sens, la somme ne change pas; ainsi la fonction admet la seconde période w'.

Le premier terme, celui qui correspond à f?t = o, devient inflni pour les deux valeurs z = oc, z = jS, que l'on peut augmenterd'un multiplequelconquedew; le terme, qui correspond a ni =. — I, devient infini pour les deux valeurs z =^ o. -\- w', z =. ^ -\- 0)', que l'on peut augmenter de même d'un multiple quelconque de o), et ainsi de suite. La fonction admet donc les deuxinfinis^^a, 2:^(3.

73. 11 reste maintenant à faire voir que la fonction est moiiogène. Nous nous servirons pour cela d'un lemme que nous allons démontrer.

Soir

/ { 2 ) = «0 -f- ?/, + Mj -4- ■ . .

une fonction définie par une série convergente, dont chaque terme est une fonction monodrome et monogène de la \ariable z dans une certaine portion du plan^ si la séries

fs^ [z] =z u\ ~\- a\ H- ^^J -+-... ,

obtenue en prenant la dérivée de chaque terme, c st convergente, elle définit une fonction 9 (-) qui est la dérivée de la fonction proposée /(z), quelle que soit la direction du déplacement. Supposons que Ton intègre depuis n jusqu'à 5, le long

l'une ligue comprise dans la porlion de plan considérée , on

( aura

(u (z) elz z= j u[ dz 4- 1 //', dz -{-... ', a Ja Ja

puisque u„ est la dérivée de la fonction monodromc et monogène z/q, on a

/ u[dz~ u,— (u,\, et de même pour les autres termes \ on a donc

Imaginons que z se déplace d'une quantité très-petite dans une direction quelconque, il viendra

A. /(z) — [fp(z) -{-£]. /iz;

Ainsi la fonction f [z] admet pour dérivée çp(^), quelle que soit la direction du déplacen^ent ; c'est donc une fonction monogène. .

Revenons maintenant à la série (i) ; en prenant la dérivée de chaque terme on forme la nouvelle série

'"--^ sm — [z Z r.^,;, w'

('■^ ^(^)= 2 p-^w ÏTÏl Â ^:^rpn='

convergente comme la première. Car, si m est très-grand positif, le terme général s'écrira

£ étant irès-pelit ^ la racine m'^"" aura pour limite c^^/", dont je module c" "^"^ est moindre que l'unité \ donc la série (2) est

PROPRIÉTÉS GÉN. DES IOKCTIOjNS DOUBL. PÉRIODIQUES. 87

coiiveigenle. Eu vertu du principe que nous avons établi, la fonction ^ (,2) qu'elle déCnit, est la dérivée de fonction y" (z), quelle que soit la direction du déplacement; ceci prouve que la {oncl\onf{z) est monogène.

7i. En résumé, la série (i) définit une fonction/' (2 ) doublement périodique, monodrome et monogène, admettant les ûeuK périodes données w et w', et les deux infinis donnés a et ,6.

luSL fonction

sera aussi doublement périodique, aux mêmes périodes o) et rj) -^ elle admettra les mêmes infinis a et (3 i elle admet de plus le zéro donné a, et par suite un second zéro ô, tel que a-f- jS^ rt -f- Ik Il y a encore un facteur A arbitraire que l'on pourra déterminer par la condition que la fonction prenne une valeur donnée pour une valeur donnée de z.

A l'aide d'une fonction doublement périodique /"(z) du second ordre, telle que celle que nous venons de former, il est facile d'obtenir une autre fonction doublement périodique du second ordre (p [z), ayant les mêmes périodes w et w', mais d'autres infinis a', j3', et d'autres zéros a', l)\

Considérons en effet Texpression

le numérateur devient infini pour les deux valeurs z=v. — 0 et 2 = (3 — 0, dont la somme est a -|- (3 — 2 ô: mais, comme le dénominateur admet aussi ces deux infinis, la fraction conserve une valeur finie. Les deux valeurs z = a', zz=a-hp> — 2Ô — a', annulant le dénominateur, rendent infinie la fraction ; si donc on pose

y.-h^ — 2O — y.' z= j5', d'où

la fraction admettra les deux infinis simples a" et /5', Le numé-

LIVUE II.

rateur devient nul pour z = li et aussi pour z =: b' ^ à cause

de la relation a' + [t)' = a' -j- h' .

75. Théorème VI. — Il existe une fonction doublement périodique f monodrorne et monogène, d'ordre n, ayant deux périodes données w et w', n infinis donnes a^, «2,..., a„ et n zéros donnés a^, «g , . . . , a„, satisfaisant à la condition

(4) 3C| 4- a2 -h. . .4-a„^<7, H- rt, -h. . .-h «„.

Nous pouvons former d'abord une fonction doublement périodique du second ordre, aux périodes w et w', admettant les deux infinis ai, a^, le zéro a^ et un second zéro a\ , tel que la relation «^ -f- a^ = a^ -f- d^ soit vérifiée ; désignons cette fonction par (a^, «g, «j, d\). Formons ensuite une deuxième fonction aux mêmes périodes w et co', admettant les deux infinis a\ , «3, le zéro «g, et un second zéro d^ , tel que a, H- ag = ûe^ -f- a'^ , et ainsi de suite \ enfin une dernière fonction admettant les deux infinis «'„2, a,,, le zéro «„i, et un second zéro <?'„i, tel que «'„g -h «„== «;,i-f- «i,i. Considérons le produit de toutes ces fonctions

IJ^\ ( F (3)= A. (a,, a>, «!,«', )X («',, «3, ^/,,«',)X(<,a4,a3,«3)X-..

t ce sera aussi une fonction doublement périodique, aux périodes (t) et 0)'. La valeur z=:d^^ annulant le premier facteur, et rendant infini le second, n'est ni un zéro, ni un infini^ de même la valeur z =^ d^^ qui annule le second facteur et rend infini le troisième, etc. Ainsi la fonction F [z) admet les n infinis donnés «1, «g,..., a„, et les n zéros rtr^, «5,,..., a„,, <2'„i. Si Ion ajoute les relations

a, -h a,— a, -f- d\ , fi -A- a, =rr a.-\- «'

il vient

PllOPRlÉTKS GÉIV. DES FONCTIOAS DOUBL. PÉRIODIQUES. 89

En vertu de la relation (4), on a (i„y ^ a„. La fonction F (2) admet donc aussi les n zéros donnés.

Il résulte d'ailleurs du théorème V (39), que deux fonctions doublement périodiques, qui admettent dans un parallélogramme les mêmes infinis et les mêmes zéros, sont égales à un facteur constant près. La fonction F (2) que nous venons de former, et qui contient le facteur arbitraire A, est la seule qui satisfasse aux conditions énoncées.

Les fonctions du second ordre qui entrent dans la composition de la fonction F (z), ayant toutes les mêmes périodes, peuvent être exprimées, comme nous l'avons dit, au moyen d'une même fonction du second ordre/ (z) aux mêmes périodes, et l'on aura

en posant

76. Théorème VIL — Deux Jonctions doublement périodiques, monodromes et monogènes, d'ordre fini, et dont les parallélogrammes élémentaires, formés d'une manière convenable, sont des parties aliquotes d'un même parallélogramme^ sont fonctions algébriques l'une de l'autre.

Soient u et i^ deux fonctions de z doublement périodiques, monodromes et monogènes, d'ordres n et n\ et dont les parallélogrammes élémentaires sont contenus p fois et /?' fois dans un même grand parallélogramme. A une même valeur de u correspondent dans chaque grand parallélogramme np valeurs de z -^ les points homologues dans les divers parallélogrammes donnant une seule valeur de t^, il en résulte qu'à une valeur de u correspondent np valeurs de »^ De même, à une valeur de ^^ correspondent n' p' valeurs de u. On en conclut que les deux fonctions^z^ et i' sont liées entre elles p.ir une équation algébrique cnîièie, du degic //'// par rapport à //, et du dcgr('' np par ivipporl à i*.

90 livub: II.

77. CoiiOLLAiRE I. — Appliquons ce théorème à la rcclierclu' de la relation qui existe entre la fonction, doublement périodique it=J'(z) et sa dérivée u' =f' [z). La dérivée est une fonction doublement périodique ayant les mêmes périodes que la fonction proposée. Elle admet les mêmes infinis, le degré de chacun d'eux étant élevé d'une unité ^ si donc on désigne par n l'ordre de la fonction //, Tordre n' de la fonction u' sera au moins égal h n -{- i et au pins égal à iJi. Ainsi la fonction Il et sa dérivée u' sont liées par une équation algébrique entière , du degré n par rapport à ?/, et du degré n^ par rapport h u.

Soit ( 7 ) U« n'" H- U , «'"-' + U2 u'"-' -h . . . -h U„ — o

celte équation ordonnée par rappoit aux puissances décroissantes de u'. Lu fonction // ne devenant inhnie pour aucune valeur finie de u , le premier coefficient Uo est égal à Tunilé. A une même valeur de u correspondent n valeurs de z dont la somme

est constante (71 ), et, par suite, fi valeurs de -7- ou de — dont la

^ ^ ' ' ^ du II

somme est nulle 5 il en résulte que rayant-dernier coefficient U,,i est égal à zéro.

Celte liaison algébrique entre une fonction doublement périodique quelconque et sa dérivée a été remarquée par M. Méray, élève de l'École Normale.

78. Corollaire IL — Les fonctions doublement périodiques les plus simples sont celles du second ordre. Dans ce cas l'équation (7) se réduit à

Ua étant un polynôme enn du troisième ou du ({uatrième degré. Ainsi toute fonction doublement périodique du second ordre satisfait à une équation différentiel le du genre de celles que nous avons étudiées dans le chapitre précédent.

Il y a deux cas à distinguer : i'\ Lorsque la fonction //^=/"( 2) a deux infinis simples a et (6, dont nous désignerons la sonune par 5, la dérivée //, ayant deux inlinis doubles, est une fonc-

PllOPRIÉTÉS GÉJV. DES FONCTIOKS nOLBL. PÉRIODIQUES. () I

tien doublement périodique du quatrième ordre, et le polynôme IJ2 est du quatrième degré. Il est facile de former ce polynôme ; la fonction a reprenant la même valeur dans chaque parallélogramme pour deux valeurs de z, dont la somme est égale à la quantité s augmentée de multiples des périodes, on a

f[z)=f(s-z], et, par suite,

Si l'on fait z z= -^ il vient

ce ({ui ne peut avoir lieu que s\f' ( - j est nulle ou inlinie ; juais/' (-j n'est pas infinie , puisque - dillère des deux infi-

nir. a et |6 • donc f i-\ =z o. Si l'on remplace z par chacune

1 1 s (à s oi' s w 4- w' ,

des valeurs -H ,-h ,-h , on a de même

insi la lonction u admet les quatre zéros -^ 1 — > — I ,

■ — i On a donc

2^. Lorsque la fonction 11 admet un infini double a, la dérivée i/, ayant un infini triple, est du troisième ordre, et le polynôme U2 du troisième degré. La somme constante 5 étant égale

à 2a, la foiiclion // admet les trois zéros a H , a + -,

a -1 5 et 1 on a

Chacun des facteurs qui composent les expressions (9) et (io\ admet un zéro double.

78. Théorème VIII. — Une fonction doublement périodique, de V ordre n, s'exprime rationnellement au moyen d'une fonction du second oindre aux mêmes périodes, et de sa dérivée.

Proposons-nous maintenant d'exprimer une fonction doublement périodique t^, de l'ordre /i, au moyen d'une fonction doublement périodique u du second ordre, à deux infinis sim-. •pies a et j3, et aux mêmes périodes. Les deux fonctions sont liées par une équation

du second degré par rapport à y et du degré n par rapport à u.

Si Ton pose

M + fv

cette équation devient

(12) «.2__(]^|2__LpJ-- p^

La fonction w est une fonction monodrome doublement périodique par rapport à z, comme la fonction u. A chaque valeur de u correspondent, dans un même parallélogramme, deux valeurs z^ et z^ de z , lesquelles donnent pour u' deux valeurs égales et de signes contraires , et de même pour w. Ainsi le quo-

lient — est monodrome par rapport a //. JN'ous avons vu qu(' la

lonction u admet les quatre zéros -> - H — 9 — I ? — I ;

la fonction w admet aussi ces quatre zéros. D'un autre (ôtc, réquation (i?) ayant son premier coeflicienl égal à l'uiiilé, Igi

l'ROPRlÉTÉS GÉJN. DES FOJSCTIOWS DOLBL. PÉRIODIQLES. (^3

luiK tion w ne devient infinie pour aucune \aleui- finie de u. Le (juolient — > monodrome par rapport à u et ne devenant infini pour aucune valeur finie de «, est donc une fonction entière de u (n®4())-, cette fonction est du degré n — 2. Si nous la désignons par N, nous aurons la formule

dans laquelle L, M, N représentent des polynômes entieis en M^ les deux premiers du degié n au plus, le troisième du degré n — 2 .

Celte proposition très-importante est due à M. Liouville, qui l'a démontrée par d'autres considérations.

79. Remarques. — ^Le dénominateur L de l'expression (i3) est en général du degré w, il sera nul pour n valeurs de w, et, par suite, pour 2n valeurs de z dans chaque parallélogramme. Parmi ces in zéros du dénominateur, n sont les infinis de la fonction ^^, îi annulent aussi le numérateur, et par conséquent se détruisent. Le numérateur admet aussi in zéros, savoir les n dont nous venons de parler et qui lui sont communs avec le dénominateur, et, en outre, les n zéros de la fonction p».

Si n est pair, et que, déplus, les infinis delafonction i>, groupés deux à deux d'une manière convenable, présentent une sonmie constante et égale à la somme s des deux infinis de la fonction // , 11 est clair que le dénominateur L se réduira au

deeré -; car les deux zéros de chacun des facteurs du dénonii-

nateur seront des infinis de la fonction v.

80. Désignons pary^( 2) la fonction u et par F (2) la fonction i^. Nous savons que

/(.-.z)=/(z), d où

Si, dans l'expression

y 4. LIVRE II.

OU rciiiplacc z par s — z ,^ il vient

Supposons que la fonction F (^) jouisse de la même propriété que la fonction /( 2), c'est-à-dire que F (^ — ^) = 1^(^)5 ^a comparaison des équations précédentes montre que N=ro; dans ce cas, on a

et la fonction k^ est rationnelle en 11,

Supposons au contraire F(5--z)= — F(2)- dans ce cas , on a M := o, et

Ces dernières remarques ont été faites par M. Liouville.

8i . Théorî:me IX. — Lorsqii une jonction nionodrome et monogène a ses infinis et ses zéros disposés par groupes égaux et équidistants suivant deux directions différentes ^ et que ^ dans chaque groupe^ le nombre des zéros est le même que celui des infinis, et la somme des zéros la même que celle des infinis, la fonction est doublement périodique.

Nous avons fait voir (n" 75) comment, avec une fonction monodrome doublement périodique/(s) à deux infinis, on peut former une fonction doublement périodique F(:j), ayant les mêmes périodes, un nombre quelconque d'infinis et un pareil nombre de zéros donnés, pourvu que la somme des zéros égale celle des infinis.

Il existe donc une fonction doublement périodique jF (2) ayant les infinis et les zéros de la fonction proposée; le rapport de ces deux fonctions étant constant, on en conclut que la fonction proposée est elle-même doublement périodique.

DES FONCTIONS KLLIPTIQlJliS.

DE LA FOWCTIOJN ^.

82. Dans le livre précédent, nous avons indiqué une méthode pour étudier les fonctions définies par les é(juations différentielles: en appli(|uant cette méthode, nous avons vu que l'équation différentielle

~— sJÇy[u — a){u —b)[u — c){u — d)

engendre une fonction monodrome doublement périodique du second ordre.

On donne le nom àe Jonction elliptique à la fonction définie par l'équation différentielle

dans laquelle g et A sont deux paramètres arbitraires. On suppose que poui- 2: = o la fonction a la valeur initiale 11 = 0 et le radical la valeur +1. ISous désignerons par la lettre / la fonction monodrome doublement périodique du second ordre définie par cette équation, et, pour abréger, nous représenterons le radical par Au.

83. La forme particulière du polynôme du quatrième degré placé sous le radical donne à la fonction elliptique certaines propriétés remarquables que nous allons énumérer.

On voit d'abord que la fonction À est impaire 5 car si l'on

i)6 LIVRE I!I.

fait varier m clans deux directions opposées, l'intégrale délinie

" du

acquiert des valeurs éi^aîes et de signes contraires -, on a donc