DE LA FONCTION V. III

De la relation 1 i h ^ I = , , , , on déduit

'^\2. 7 V Jin'{z) — i\{z)'

Il faut mettre le signe — devant les deux expressions, puisque Il en résulte les deux relations suivantes :

101. On appelle valeurs complémentaires de la variable z deux valeurs dont la somme est égale à -j- Il existedes relations

très-simples entre les valeurs des fonctions elliptiques pour des valeurs complémentaires de la variable.

La fonction ). iy — z \ est paire et se réduit à l'unité peur z = o \ ses zéros dz -r sont ceux de a ( z ) ; ses infinis -j -\ \ sont les zéros de t^ ( 2: ) 5 on a donc

Si l'on fait z == o, on trouve A = i , et Ton obtient ainsi la relation

La fonction ^\j — z\ est impaire ; elle admet les mêmes zéros que la foiictioji / (s), et ses infinis sont les zéros de v (z).

112 LIVRE m.

On a donc

Si l'on fait 2 = -r, il vient B = k' et l'on obtient la seconde re-

lation

La fonction v ( y — z j est paire ; ses infinis sont les zéros de V (^ ) et réciproquement ; on a donc

En faisant z =^ j-, on trouve C = k\ et, par suite.

Quand le paramètre A se réduit à zéro , la fonction X devient un sinus et la fonction pi un cosinus*, quant à la fonction V, elle devient égale à l'unité. Voilà pourquoi, outre Taiialogie des propriétés, on a comparé la fonction A à un sinus, la fonction p. à un cosinus. L'analogie conduirait aussi à considérer comme un nouveau sinus la fonction p ( - — ^ j 5 et

comme un nouveau cosinus la fonction X f - — zy Relativement à la première période c«), ces deux fonctions jouissent de" propriétés analogues à celles du sinus et du cosinus. La première est impaire et admet les deux zéros z = o, 2 = -; la

seconde est paire et admet les deux zéros 2 = zL -^•

\ [z] 102. On est conduit aussi à considérer la fonction -—— 9

analogue à la tangente, et que nous désignons par la lettre tj.

Cette fonction est impaire^ ses deux périodes sont -et 20) ;

elle admet les zéros de >^ (2) et devient infinie pour les valeurs qui annulent [J- (z).

DE LA FOUCTIOW V. Il3

On en déduit

On oblient des fonctions monodromes doublement périodiques du second ordre, en combiiianl deux à deux, par multiplication ou division, les quatre fonctions y/i zii / [z) , v'i zhfil^z)-^ d'après ce que nous avons dit, chacune de ces fonctions reste monodrome quand X devient égale à ±: i ou à

dz j> mais elle cesse de 1 être quand X devient infinie; toute-

fois les produits ou les quotients de ces fonctions deux à deux restent monodromes pour ton les les valeurs de z. Parmi ces combinaisons, nous avons étudié spécialement celles que nous avons appelées a et v. Nous signalerons encore les suivantes

v/(i — X) (i — kl), i/ TJ \/ —• Il est clair que les quotients deux à deux des fonctions ainsi formées fourniront aussi des fonctions monodromes doublement périodiques du second ordre j à cette catégorie appartient la fonction u.

103. Dans le cas où le paramètre g est égal à l'unité , l'équation différentielle, par laquelle on définit la fonction X, peut se mettre sous la forme

ce qui nous fait voir que la fonction doublement périodique X' du quatrième ordre est le produit de deux fonctions doublement périodiques du second ordre. En différentiant les équations

on a , de même ,

Il4 LIVRE iir.

Ainsi on peut définir les trois fonctions ^, ^., v par le système des trois équations différentielles simultanées

— = — /U a, dz

luxquelles on joindra les conditions initiales