BEMARQUES SUR LES MODULES

Modules réciproques*

i04. Il existe une relation très-simple entre les deux fonctions elliptiques qui correspondent à deux modules réciproques h et y Si l'on pose z<= — j Téquation différentielle

fi k

du _______ ;

devient

avec la condition u' = o pour z = o. On a donc etj par suite, On en définit

(3) v(z,A)==:fx(^^^, ly

REMARQUES SUR LES MODULES. 1 l5

En vertu des relations précédentes, quand le module est réel, on peut toujours ramener les fonctions elliptiques au cas où le module est moindre que l'unité.

Modules complémentaires .

105. On appelle modules complémentaires deux modules k et A' tels que A^ -h A'^ = i ; le module A étant donné, et la fonction X(^,A) bien définie, on choisira le signe de A' de

manière que v f j j = A^ L'équation

dans laquelle on remplace X et v par leurs valeurs en fonction de //, devient

tt=- v/(i-f.')(.-^'+/>.') = -ry/(— a')(^I+^^=); le radical se réduisant à la valeur -|- i pour z =z y, puisque

Si l'on pose

cette équation prend la forme

lîz'

la fonction ]x s'éyanouissant avec la variable z\ et le radical se réduisant à l'unité. On voit par là que la fonction fji ( ^ — -

est une fonction \ de la variable z\ aN-ant pour module -jt-

on a donc

ou

1 18 LIVRE m.

d'où Ton déduit

La fonction l IJiz, j\ admet pour périodes elliptiques, non

plus 0) et (ù\ mais w — 2w' et w'.

Nous avons obtenu (n" 106) entre les fonctions elliptiques à modules complémentaires la relation

X(z, //) = — / CT {iz, A).

Si l'on désigne, comme précédemment, par w et w' deux pé^ riodes elliptiques de la fonction 1 (zjk)^ on voit que la fonction X {z,h') admettra les deux périodes i et — 2 w'/,

mais non en qualité de périodes elliptiques. Si l'on fait

ou

on déduit de la relation précédente

Pour avoir les périodes elliptiques de la fonction l [z,k'), on posera donc

d'où

Cas oh le module est réel.

i08. La fonction elliptique a clé Tobjet des remarquables travaux de Lcgcndre, d'Abel cr de Jacobi. Lcgcndie a étudié