REMARQUES SUR LES MODULES. II
Imaginons que Ton change le signe du module h-^ ce module n'entrant que par son carré dans l'équation diiîérentiello, la fonction X ne change pas, et Ton a
X(^,X-)=rÀ(z,~/).
Ces deux fonctions^ en tant que fonctions doublement périodiques, admettent évidemment les mêmes périodes, mais non les mêmes périodes elliptiques. Désignons en effet par « et w' un système de deux périodes elliptiques de la fonction X (2, A) ; on obtiendra un système de périodes elliptiques de la fonction "k [z f — h) en prenant w, = o), w'^ r=: co -i- «', afin que la relation
soit satisfaite.
Nous avons trouvé (n° 104), entre deux fonctions elliptiques à modules réciproques, la relation
Les deux fonctions 1 (z,A),). (Az, - ] , en tant que fonctions doublement périodiques, admettent les mêmes périodes 5 mais un système de périodes elliptiques de Tune ne constitue pas un système de périodes elliptiques pour la seconde.
Désignons en effet par w et 0/ deux périodes elliptiques de la fonction X (z,Â), et par 0)1, w'^ deux périodes elliptiques de
la fonction X / Az, j J • Si, dans la relation précédente, on fait
www
s = 7 — —1 on z = y, on a
on posera donc
W Wi w,
est imaginaire. Si l'on pose
k' -^ k"z=zi, P lû + /'2 u" =Z i , cette dernière intégrale devient
f du' C~^
/•"'sin'(p
Le module complémentaire A' étant aussi réel et moindre que l'unité, la fonction ); (z,!^) admet également une période réelle positive w^ et une période imaginaire w', . En vertu de la formule précédente, on a
La période imaginaire de la fonction X [z ^k) égale la moitié de la période réelle de la fonction À (2, //), multipliée par /.
ilO. Il est à remarquer que, dans le cas particulier que nous considérons en ce moment, la fonction elliptique X [z) est réelle et moindre que l'unité, pour toutes les valeurs réelles de la variable z. Car 11 variant de o à i en ligne droite, z varie de
o à -^ aussi en ligne droite 5 réciproquement, quand z marche sur l'axe o:r de o à y? u reste réelle et croît de o à i . En vertu
de la formule
on voit que, lorsque la variable continue son mouvement sur
l'axe ox de 7 à -5 la fonction reste réelle et décroît de 1 à o.
La formule
montre ensuite que de - à w la fonction devient négative, dérraîssant d'abord do o à — i, puis croissant de — i à o. De w
