REMARQUES SUR LES MODULES

à 2 w, elle repasse par les mêmes valeurs que précédemment, et ainsi de suite indéfiniment.

Les deux fonctions (x [z) et v [z) sont aussi réelles et moindres que l'unité pour toutes les valeurs réelles de z. La fraction /x décroît de -hi à — i, quand z varie de o à -? puis elle croît de — i à -hi, quand z varie de - à w. Quant à la fonction V, elle reste non-seulement réelle, mais encore positive et moindre que l'unité. Nous avons déterminé (n"^ 100) le signe

du module complémentaire A' par la condition y f-^j =^'-,

c'est donc la valeur positive qui entre dans nos calculs.

111. Si Ton donne à la variable z des valeurs imaginaires de la forme c'/, 2' étant réelle, la fonction sera imaginaire et de la forme 11 i. Car si Ton pose

u= u'i, u' étant réelle, on aura

Réciproquement, quand la variable z marclie sur l'axe oj de

0 à — ? la fonction // prend des valeurs de la forme itH., w'crois-

sant de zéro à l'infini.

Les deux fonctions a (-2) et v(z) restent réelles. Quand .r

varie de o à — ? ces deux fonctions croissent de -|-i à H- 00 ; x

1 w , , , , , 3w , 3 w , /Il

variant ensuite de — a w, de o) a , de a 2W , elles crois-

sent de — oc à — i , pour décroître de — i à — 00 et de H- oc à H- 15 au delà les mêmes valeurs se reproduisent périodiv^ucm^t. La manière dont nous avons clioisi la seconde période w', qui est égale à une quantité réelle positive, multipliée par z', s'accorde avec l'hypotlièse faite au n^ lOOj car, de l'équation (i4)- II" 102, on déduit n ( z\ = -7-T et, quand z

varie de o à — >> on sait que cr (z) est égale à une quantité positive, multipliée par /. Il est facile de trouver les valeurs de ces fonctions en supposant connues celles qui correspondent aux valeurs réelles de z-^ car les relations du n^ i06 donnent

>(/2,/^) = /ct(z, /?•'), {x(/2,/0= ,77-7-77-:' ^(^'^^ ^)= ., rr\'

Nous verrons plus tard comment on peut exprimer les valeurs des fonctions elliptiques pour des valeurs imaginaires quelconques de la variable, à Taide de valeurs qui correspondent à des valeurs réelles de la variable.

On peut ramener au cas du module réel celui où le module est imaginaire et de la forme A /, au moyen de la formule (4) du n« 105.