partie

/{z)clz

Application aux fonctions cosêc z et sécz. H3. Appliquons la formule précédente au développement

de la fonction f[z)=^ -. — 5 qui devient infinie pour les valeurs z = nm (m désignant un entier quelconque positif ou négatif), distribuées uniformément sur l'axe des x. Intégrons suivant le contour d'un rectangle formé par des parallèles à

l'axe des), menées à la distance m'u-f-- de l'origine, et par

des parallèles à l'axe des x à une distance très-grande arbitraire Y. On reconnaît aisément que le module de la fonction casée z est moindre que l'unité sur les premières parallèles, et très-petit sur les dernières. Il en résulte que la seconde partie du reste a pour limite zéro, quand on fait croître m' et Y indéfiniment. Quant à la première partie, elle est identiquement nulle; car, la fonction étant impaire, les éléments différentiels, qui correspondent à deux éléments du rectangle symétriques par rapport au centre, sont égaux et de signes contraires. Ainsi la fonction proposée se développe en une série convergente. Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque mn de

la fonction -: — ? posons z — mi: ■+- z'^ et considérons l'inté-

smz

DÉVELOP. DES 10Î<CT. ELLIP. EN SKUIE DE FRACTlOiNS. 1^5

grale définie

ilz

2 77 1 J [t — z'js'mz •?.- i J [t

m n — 3 , sin s

prise le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point m TT ; on peut réduire cette intégrale k

(-ii.! r^/3^^ (-1)-

t — mn ir. i J On a ainsi, en vertu de la formule (i),

sm / ^u t— m t:

OU, en remplaçant t par z,

^ ' sm z -^i^ 3 — miz

En groupant deux à deux les termes fournis par des valeurs de m égales et de signes contraires, on obtient la formule connue

Sin Z Z ^mmt z'^ W*7r^

Si dans la formule (3) on remplace z par z 5 il vient

^ = ii,„ y <-'■'"— ^lim y

COS z émà . TT ^^

„,. Z--(2W-M)- „,^„^., Z— (ow-f-l).

Nous avons ajouté un terme infiniment petit à gauche de la double série convergente, celui qui correspond à m = — ni! — i , afin d'avoir autant de termes d'un côté que de Taulre. Le groupement des facteurs conduit «1 Fcxpression

OS

application aux fonctions col z et tang z.

1 14. Les infinis de la fonciioii cot z ou - — sont les mêmes

sin z

que ceux de la fonction précédente. On intégrera suivant le même rectangle^ le module de la fonction cot z étant moindre que l'unité sur les premières parallèles, et différant très-peu de l'unité sur les autres, la seconde partie du reste a pour limite zéro; d'ailleurs, la première partie est nulle, puisque la fonction est impaire. On aura encore une série conveigente. Pour évaluer l'un quelconque des résidus, on posera ^ = m TT -H 2', et l'on considérera l'intégrale définie

I rcotz I r cotz' ,

iv: i J t — z 2 7T /■ j t — niTz — z' '

prise le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point z = /TiTT 5 cette intégrale se réduit à

I i Çch[___ i

t — m Tz O. Tï i J z' t — ;

On a donc

(6) cotz— ]im \^

et, si l'on groupe les termes deux à deux,

(7) cot 2; = h 2 3 7 :

En remplaçant z par z ? et ajoutant un terme infiniment

petit, on déduit de la formule (6)

m=nt'

(8) tangz==-lim ^

( 0. w-hi)' -7 — ^

DÉVELOP. DES FONCT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. 12^

Application à la fonction 1.

llo. La fonction X (^) est impaire; ses infinis sont représentés par la formule

dans laquelle 77i et n sont des nombres entiers quelconques, posi- Fig. 22. lifs ou négatifs. Portons dans

la direction de la première période w, et de part et d'autre de l'origine (y?^. 22), une longueur OA, Ok'. égale à w w

lit! ~-\--j') et, dan s la direction

de la seconde période, une longueur OB , OB', égale à ( // -f- I ) w' . Nous formerons ainsi un parallélogramme CDEF, le long duquel nous eflectuerons l'intégration. La fonction / (2) conserve évidemment une valeur finie sur le contour du parallélogramme-, ainsi la seconde partie du reste a pour limite zéro, quand on fait croître m' et îi' indéfiniment ; d'ailleurs la première partie est identiquement nulle, puisque la fonction est impaire.

Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque, il suffit do poser

d'où

et d'intégrer le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point r = 7n -4- (2 72 -I- i) — , ce qui donne

l^yt-m--^{in-\-\)—\ ^ ^ ' fiit—m (2W4-1) — )

On a donc

(10) X(z)::=liml 2 2 ^ ''

n=— 7i' — I mz=:-—ui

Pour raiîiener cette somme douLle à une somme simple, nous grouperons les termes par files parallèles à la direction (0. On a, en veitn de la formule (3

-^ =- lim 2é

sin I (2 /2 -f-

d'où

«=-»'-! S'"l -;; (2«-}-IJ7rp 1

Nous avons vu (n" 72) que les deux parties de cette série, prolongée vers la droite ou vers la gauche, sont séparément convergentes. On écrira donc

En groupant les termes deux à deux, on en déduit

, , 8 77 . 2 77 2 '^ COS(2«+l)77p

('i2) \[z]^=.- — sm • y — — •

n=0 COS2(2«4-l)77p— ces----

Jacobi repiésenle par r/ la quantité e-^P' ; si daus Texpres-

sion du rapport des péiiodes p = ~ == r-\-.si\ rapport toujours

imaginaire, la (piantilé v (>st positive, la quauliîé q a son ;no-

dule moindre que Tunilé; en introduisant cette quantité dans

DÉVELOP. DES FOISCT. ELLIP. E« SÉRIE DE FRACTIONS. 1 29

la série (12), on est conduit à la forme

(,3) M.) = «;y^iniilf.y ri'+l'--')

„0 I — 2 7'"^' COS ~ h ^2(2"+')

w donnée par Jacobi.

y4 pplication à la fonction fx.

11(3. Proposons-nous maintenant de développer la fonction

impaire [jAz — -^ j • Intégrant le long d'un parallélogramme

qui a pour centre l'origine^ on verra, comme précédemment, que le reste est nul. Les infinis de cette fonction sont donnés par la formule

dans laquelle il faut faire varier m de — m' — i à m' et fi de — n' — I à n'. Pour évaluer le résidu relatif à l'un quelconque de ces infinis, on posera

z = (2/77 -hi)j -h (2«4- i) h z';

et, en vertu de la formule (8) du n*^ 100,

Prenant Tinlégrale le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point considéré, on aura pour le résidu correspondant

On a ainsi

n=-n'— I „,:z..„/, 2— ^2W -+- ijy — (2/?4- l) —

l3o LIVRE ir

et, en remplaçaiil z — y par z ,

(.4) p(z)=lim 2 (— )" 2

==-m'-i Z — m (2ffi+l) —

En supprimant un terme infiniment petit à gauche, ce qui n'a pas d'inconvénient, on a, comme précédemment,

iim >;

îim

et, par suite,

=„/, sm

ou, plus simplement, d'après la remarque déjà faite,

?2 = ce

(,5) p(.).^-^'. V tu):

Si l'on groupe les termes deux à deux, on obtient la série

, ^> , . Sixi 2 7rz -^^ (— i)" sin (2« -4- i)7rp

(,6) ^(z)=^-cos--.2: — ^~^ — ^ — -i

que Ton pent mettre sous la forme

„ O COS 2 ( 2 « -}- Ij 7rp — COS

(»7) p(3):=-^icOS— . >^ ^ LA i 1