Q I — 2^'^"-^' COS
application à la Jonction v.
HT. Considérons actuellement la fonction impaire
DÉVELOP. DES FO^CT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. l3l
Intégrant le long d'un parallélogramme qui a pour centre l'origine, on verra encore que le reste est nul. Les infinis de la
fonction v ( ^ H j sont représentés par la formule
Zz=:m — h « w ,
dans laquelle il faut faire varier w de — m' à m' ^ et n de — n' à n'. Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque, on posera
d'où
d'après la formule (9) du n° iOO; on trouve ainsi pour le résidu
et par suite
/lim 2 (-0"
z H par 2,
.8) v(z) = nim 2 (-■)" 2
•jj
"= — n' m=z — in
(2/?-M)- En vertu de la formule ( 6), on a
lim
On
en déduit
n^rzn'
( 2 /? H- I ) Trp .
l3^ LIVRE IV.
Les termes de cette dernière somme ne deviennent pas infiniment petits, qnand n augmente indéfiniment; mais ils tendent vers ziz/. Il est facile de remédier à cet inconvénient ; si l'on fait z ==:: O5 l'équation (19) donne
I— — ^lim \^ (— i)" cot (2 « -hi) îrp. On en déduit
ou, plus simplement,
^^'^^" -^^TTZ '^ (— 1)«
, . im . 2.7ZZ Y7
(2o)% — -j(z) = — sm lim >^
Cette série ne présente plus le même inconvénient que la précédente *, les termes tendent vers zéro. Si l'on ajoute un terme à gauche, ce qui est permis maintenant, et si l'on groupe les termes deux à deux, on a ' .
„__Q CCS 2 ( 2 /î 4- 1) TTp — ces -i
cette formule donne celle de Jacobi
(22) i — v(z) = sm^ > ^-
„^0 1—2 7*"+' COS \.qH^"+'}
jippUcation à la fonction u.
118. Le développement de la fonction impaire cj [z) ne présente aucune difficulté. Si l'on intègre le long d'un parallélogramme ayant pour centre l'origine, le reste est évidemment nul. Les infinis de la fonction cy (^) sont représentés parla
DÉYELOP. DES FOKCT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. l33
formule
z = (2/n-4-l)-^-+-/iw%
dans laquelle m varie de — m' — i à m\ n de — n! k li . Si Ton pose
ou a
en vertu de la formule (i3) dun" 102. Ou obtient de la sorte
.-3(z) = l|im 2 (-■!" D
«=-«• ™=-ra'-lZ — {2"'+l)7 — ''"'
(23) -(3) = ^ 2 (-Onang^^-s^.p),
et, en groupant les termes deux à deux,
2 77 I 2 7rZ , Lt.Z ^^ (—0" I
I „^0 COS 4 /2 7rp -h ces J
OU bien
5 cr.3 =77- tanjï f-4sin2. > v )± i
119. Dans ce qui précède nous avons supposé le paramètre g égal à 1 unité \ les fonctions elliptiques dépendent du seul module A- ou du rapport o des périodes. Nous avons vu comment on exprime les deux périodes, et par suite leur rapport en fonction du module à Faide d'intégrales définies. Réciproquement, on peut, à l'aide de séries, exprimer le module h en fonction du rapport p des périodes supposé connu .
l34 LIVRE IV.
En effet, si dans la série (i i) on fait z = ^ -f- — , il vient
-ce n=::i
^- cos 2 « TTp \ ^y COS 2 nizpj
n= — ce
n=op
Si l'on fait ensuite z == -zt il vient
cos
vrp
COS
i)7rp
La série (26) donne la première période de w, la série (27) donne ensuite le module h.
En faisant 2 = 0 dans la formule (17), on a de même
il en résulte l'identité
Quand on donne le rapport des périodes, les périodes ellesmêmes, et le module /r, sont complètement déterminés. Mais la réciproque n'est pas vraie *, quand on donne le module /r, le rapport des périodes peut recevoir une infinité de valeurs 5 car, si Ton remplace les deux périodes o) et o)' par un système de périodes elliptiques équivalentes
oj 1 = ( 4 rt -f- 1 ) (» -f- 4 ^ ^%
DÊVELOl». DES FONCT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. l35
on a un nouveau rapport
dans lequel «, t, c, c? sont des nombres entiers quelconques, assujettis seulement à vérifier la relation
