CHAPITRE II

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTKJUES EN PRODUITS d'un NOMBRE INFINI DE FACTEURS.

Méthode générale pour le développemeîit des fonctions en produits d'un nombre infini de J acteurs,

120. Nous commencerons par établir quelques principes Irès-simples relatifs à la convergence des produits d'un nombre infini de facteurs.

Considérons le produit indéfini

dans lequel nous supposons que les lettres a^^ a^, fz*,... désignent des quantités réelles positives. Pour que le produit des m premiers facteurs tende vers une limite finie et déterminée indéfiniment, il faut d'abord que le facteur général i-j-a,„ tende vers l'unité, ce qui exige que a,,, tende vers zéro. Mais cette condition n'est pas suffisante \ il faut en outre que le produit

d'un nombre quelconque de fadeurs, pris à la suite des ni premiers, ait pour limite l'unité, quand ni augmente indéfiniment. Il est facile de voir que, lorsque la série

rtTo -h <'M 4- «''î -i- • . • estconvergenle, le produit

l36 LIVRE IV.

est également convergent. On a, en efïet,

«. • • 1 et par suite

s désignant la somme des termes de la série. Le produit augmente avec le nombre des facteurs, et reste constamment inférieur à e^ ; il tend donc vers une limite finie et déterminée.

D'ailleurs cette condition est nécessaire pour la convergence du produit, car on a

(i + rto) (1+ «,)••• (i+^'m-i) > ^h-^ a,-|- . . . -ha„,r, si cette dernière somme augmentait indéfiniment, le produit augmenterait aussi indéfiniment.

Il résulte de ce c|ui précède que si, à partir d'un certain rang, a quantité ^a„, reste constamment moindre qu une quantité fixe inférieure à l'unité, le produit est convergent.

121. Considérons maintenant un produit (i-f- Wo) (1+ «1) (»H-«2). . .

de facteurs imaginaires. Appelons «0, «i? «sv-î les modules des quantités imaginaires Uq, m^, Wg, — Si le produit des facteurs réels

est convergent, le produit des facteurs imaginaires est aussi convergent. Le module de

est en ellet plus petit que la quantité

qui est infiniment petite.

Il est à remarquer que si la condition précédente est remplie, le produit

DÉVELOP. DES FONCTIONS ELLIP. EN PRODUITS. iSy

est convergent, quelle que soit la valeur de 2 : ce produit définit donc une fonction finie et monodrome dans toute l'étendue du plan. Nous allons faire voir que celte fonction est en outre continue et monogène ^ en elfet, désignons par P„ le produit des n premiers facteurs, qui est une fonction monogène; il vient, en prenant la dérivée ,

Quand n augmente indéfiniment, on a une série convergente, et P^, tend vers une limite finie que nous appellerons P'. On a

F = p;-he,

z tendant vers zéro quand n augmente indéfiniment^ d'où

o »/o Jo */o

Si l'on fait augmenter n indéfiniment, il vient

P'dz-=f{z)~i.

Jo

On en conclut

par suite, la fonction y (2) est monogène. Ainsi la fouction f{z)y définie par le produit considéré, est une fonction synectique dans toute l'étendue du plan.

i22. Après avoir rappelé ces principes , nous allons exposer une méthode très-ingénieuse imaginée par M. Cauchy pour le développement des fonctions en produits d'un nombre infini de facteurs.

Son f[z) une fonction monodrome et monogène dans une

certaine portion du plan 5 comme nous l'avons vu (n^ 69), le

f'(z) quotient n'admet que des infinis simples, savoir les zéros

et les infinis de la fonction /( 2). Désignons par a un zéro quelconque de la ïoncûon f [z] dans celte portion du plan, par

p son degrés et de mémo par a un infini quelconque, et par q son degré. Marquons d'ailleurs un point quelconque t dans cette portion du plan ^ nous aurons

T,iJ (z—t

fin

Tintégrale définie étant prise le long de la courbe fermée qui li- Fig. 23. mite le contour de l'aire plane con-

sidérée, et dans le sens de la flèche.

Si maintenant nous multiplions les deux membres de cette équation par dt^ et si nous intégrons de fo à f [fig' 23) (?o étant un point fixe situé aussi dans l'intérieur de Faire), suivant un chemin déterminé , par exemple suivant le chemin rectiligne , il viendra

■2^^'°î'';rir7,+2'^'''s

'^. = iog^f'!

a — t, d'où l'on déduit la formule

log

''loai

que l'on peut écrire de la manière suivante

i)^T-i>-^o/ y^- 2^iJ 7(7y

la lettre JTT désignant un produit de facteurs.

On suppose que la droite t^^t ne passe par aucun des points qui rendent la fonction/ (^) nulle ou infinie. En outre les logarithmes qui entrent dans cette formule se réduisent tous à zéro

DÉVELOP. DES FONCTIONS ELLIP. EN PRODUITS. iSp

pour t = tQet prennent ensuite le long de la droite des valeurs parfaitement déterminées que l'on suivra par continuité. Dans le cas particulier où f^ = o, cette formule devient

/(o) Ai / / \ 9

Supposons maintenant que l'on augmente indéfiniment, et dans tous les sens, la ligne fermée suivant laquelle on a effectué l'intégration , de manière qu'elle embrasse tout le plan , le produit sera convergent , si le facteur complémentaire , ou l'exponentielle, tend vers l'unité , ce qui exige que l'intégrale définie

prise le long de la courbe, ait pour limite zéro. On peut simplifier cette expression. Le module de z étant plus grand que

celui de t tout le long de la courbe , log ( i ] se développe

en série convergente, et l'on a

£ désignant une quantité infiniment petite. D'après cela , la quantité R devient

Si le module de la fonction f\ est moindre qu'une quantité

finie sur la courbe variable, la seconde partie de R tend vers zéro, et l'on se bornera à considérer la première partie

Lorsque la fonction /^(z) est paire ou impaire, la fonction

/'(z) ffs est impaire j si 1 on intègre le long d'une ligne qui a pour

l4o LIVRE IV.

centre l'origine, cette dernière intégrale, ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle; dans ce cas, la fonction /'(^) se développe en un produit convergent.

application au cosinus.

123, La fonction paire cos z ne devient infinie pour aucune Fiig. 24. valeur finie de z 5 elle admet

les zéros simples

situés sur l'axe des x k égale distance les uns des autres [fig< 24)* Intégrons le long d'une circonférence décrite de l'origine comme centre , avec un rayon égal à (m'+i) t. .

Pour évaluer plus facilement le module, nous substituerons au cercle un rectangle formé par des parallèles à l'axe des y à la distance [m! -^i)tz de part et d'autre de l'origine, et par des parallèles à Taxe des x à une distance très-grande. Le

module de la fonction --^ ^ = — tang z étant moindre que

l'unité sur les premières parallèles et différant très-peu de l'unité sur les deux autres , la seconde partie de R a pour limite zéro. D'ailleurs, cette fonction étant impaire, la première partie est identiquement nulle. On a donc

cos t = lim I I

ou, en remplaçant f par 2, (3) cos 2 = lim

Si l'on groupe les facteurs deux à deux, on obtient la for-

DÉVELOP. DES FONCTIONS ELLIP. EJS PRODUITS. l4l

mule connue

/n=oo

(4) cos3^n[-(..y.)'J-

application au sinus.

i24. On effectuera d'une manière analogue le développement de la fonction paire f{z) = 7 qui ne devient infinie

pour aucune valeur finie de z, et qui admet les zéros simples z = nin^ à l'exception de z = o. Si l'on intègre le long d'un cercle décrit de l'origine comme centre , avec un rayon égal

à m'TT H — 5 nous verrons , comme précédemment , que la seconde partie de R a pour limite zéro, de même que la première partie

t rf'{z) ±^± r(2otz i\^

277/ J /(z) Z Zizij \ Z ZV '

que l'on peut réduire à

t r cot z

t r co\z

\Tzi J z

Sm z ,. -r-r I Z

On a donc

m recevant toutes les valeurs entières de — ni' à m', excepté tn = o.

Si l'on groupe les facteurs deux à deux , on obtient la formule connue

(6) sinz = z. TT (