Considérons encore la fonction

qui admet pour zéros a — /« H- ( 2 m -f- 1) ^. Du point h comme

Fig. 25. centre [fig. 25), avec un

très -grand rayon égal à

( /w -f- 1 ) - » décrivons un cer-

cle , et supposons l'intégration effectuée le long de ce cercle, nous aurons à étudier l'intégrale

Mi J

Posons z = /i -h z' ^ le point h étant l'origine de la nouvelle variable z' -^ l'intégrale devient

tang / tane

Il se réduit à

eh';

mais cette dernière, ayant ses éléments symétriques égaux et de signes contraires, est nulle. On a donc

ces

cos

- n r--7^-rJ

m=-m'-i I /^ + {2W-hl)-J

application à la fonction v.

126. JNous allons nous occuper maintenant du développement des fonctions elliptiques. Nous commencerons par la fonction V (2;) ^ cette fonction est paire 5 elle admet les zéros

simples « = (2/7/ -}- i) -^ -h (2« + 1) — et les infinis simples

DÉVELOl». DE5 1 0^CT10]VS ELLIP. EN PllODUITS. l43

y.z:zim — h (a/i H- i)~- A partir de l'origine, portons dans la

^•« -^ direction de la pre-

/i) / / ; /b / / / ^/ • "^i^i'<-' période, et de jh f ' f ' f ' f ' f ' f ' f 'Il P^^t ^^ d'autre, une

ll-l'Î't-J;i'j'rf ^s^'^M-'-'i^-i^

' ' et de même dans la direction de la seconde période une g f ' t ' t ' 1-' t ' f ' f 'Jl longueur OB, OB'

égale à («'-f-i)^'.

nous formerons ainsi un parallélogramme CDEF (fig. 26), suivant le contour duquel nous elTectuerons l'intégration. L'intégrale

QniJ v(z) z 2.1x1 J 2"j[z) ^'

ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle. On a donc

z) =lim JJ

fH i- (2« -}- l) —

Quelle que soit la manière dont on fasse augmenter m et n indéfiniment, ce produit tend vers la même limite v (2). Si Ton considère ce produit comme le quotient de deux produits, for-» mes, l'un par les facteurs du numérateur, l'autre par les facteurs du dénominateur, chacun de ces produits tendra vers une limite distincte^ mais cette limite dépend de la manière dont on fait augmenter m et n indéfiniment. Nous supposons que l'on fasse augmenter indéfiniment, d'abord /n, puis /i 5 ce qui revient à grouper les zéros ou les infinis par files parallèles à la direction w.

l44 LIVRE IV.

127. Examinons d'abord le produit des facteurs du numérateur, produit que nous représenterons par Q [z) -, nous posons

Si dans la formule (7) on fait h= (2 n -}-i) -, il vient

COS I -^ ( 2 /2 + 1 ) 7rp

COs(2«+l)7rp '

en substituant, on a

"~" ces (2«+l)7rp

(10) 0(z)z=lim TT L-^^^ — -r J-

^ ^ ^ ' A ± ces ( 2 72 -f- 1 ) Trp

Si l'on groupe les facteurs deux à deux, ce produit s'écrit

„ ViTxz . , n VlIZZ . . 1

"— ^ ces h (2/2 -hlJTrp COS (2/?-i-l)7rp

^ ' M. M. ces' ( 2 « H- 1 ) TTp

ou, plus simplement,

ni "^ L COS'(2/2-|-l)7rpJ

Sous cette dernière forme il est aisé de reconnaître la convergence. On aen effet

COS ( 2 « + l ) TTp == ~ •

si, dans le rapport des périodes, p = r-\- si, la quantité s est positive, on écrira

e-(2n+^):Tpif^^^^2n+^)r:pi\ COS ( 2 « -h I ) ^P = ^^ • 7

DÉVELOPP. DES FONCTIONS ELLIPT. EN PRODLITS. 1 4^

d'où

lim , ^1-- =:/*-P'-;

Lcos^ {2n~\-i)np A

cette quantité ayant un module moindre que l'unité, le produit est convergent. Si la quantité s était négative, on trouverait pour limite e~'^'^^\ et l'on arriverait à la même conclusion. Ainsi, dans tous les cas, la formule (ii) définit une fonction synectique dans toute l'étendue du plan.

128. Considérons maintenant le produit des facteurs du dénominateur, produit que nous désignerons par 0^. On a

(..) 0.(3).. lim n n l^-- — - — z^

Si dans la formule (7) on fait /? := — -^ -h (2 w H-i) — , il vient

lim

=-"■'-1 ""^^^^'"^'hj

cosl 1 (2«-f-i)7ro

COS (2« + l)irp I

Il n'y a aucun inconvénient à remplacer par — m' la limite inférieure, qui est ici — m' — i ; ceci revient à négliger le facteur

(m'-hi) (2/2 H-i)

qui tend vers l'unité, quand m' augmente indéfiniment. On a donc

n-n (,^s , (2/i-|-l)7rp

(i3) 9.(z) = lim IJ ^ " ^ —J-,

«=-„'! COS

J ^G LIVRE ÏV.

En groupant le* facteurs deux à deux, on écrira

et l'on démontrera la convergence comme précédemment. Ainsi la fonction v est exprimée par un quotient de deux fonctions synectiques,

u^pplicalion à il a fonction ^, 129. La fonction paire fx [z) admet les zéros simples

et les mêmes infinis simples que la fonction y (z). En intégrant le long d'un parallélogramme analogue au précédent, on verra de la môme manière que l'intégrale