COS 2 /Z

18) &4z) = lim ]][

"""" COS I 1 flTZp

COS 2 « Trr

1 v: Z sin^

COS- 2 rt TTÛ

Il en résulte

(20) fA(z

ou, en groupant les facteurs deux à deux,

(19) e,(z) = cos— - Il \^I

Application à la fonction X.

130. La fonction A (z) s'annulanl pour z=zo^ nous déduirons son développement de celui de la fonction —^ — --^,

dont les zéros sont «= — ZoH-m — h nts)' . On aura ainsi au

numérateur de X (z -{- Zo) la fonction

Si dans la formule (7) on fait // =: — z^ — 7

H- /zo), il vient

r2 7r (z 4- Zo) ^ I

/ 2 77 Zo 77 . ~~ \ "

COS 1 2 // 770

io.

l48 LIVRE IV.

eu par suite , le numérateur prend la forme

"— " cos ^ ^ -\ 2 rnrp

M^o)lim TT L ^> 5 J^

Nous supposerons le facteur 1(zq) joint à celui qui correspond h n = o. Faisons maintenant diminuer Zo jusqu'à zéro ^ les facteurs, qui correspondent à des valeurs de n différentes de zéro, deviennent

(2 TT Z TT \ f 2 /2 Trp J

cos I 2/Z7rp

celui qui correspond à n = o , savoir

^ ^ = cos h -

^^^/27rZo 7r\ ^.^ 2 7rZo L ^ 2J

cos I h - I — sm

se réduit à

(2 jr Z TT h- W 2

Ainsi le numérateur àe 1 (z) pourra être représenté par

"-" cos 1 1 imzpj

(21) 0.(z)=lim n ^ % ' T-^'

n=-n' COs|^--- 2/î7rpj

pourvu que l'on convienne que cos ( 2/i7:p J, pourw = o,

au lieu d'être égal à zéro , sera égal à •

En mettant à part le facteur — sin , qui correspond à

72 = o , et groupant les autres deux à deux , on aura

W . 2 TTZ -m—r I W

(-) M^)==f-sin^n\'-

2 77 0) XI Y Sin^2«7rp^

DÉVELOP. DES FONCTIONS ELLIPT. EN PRODUITS. l^g

131 . En résumant ce qui précède , nous voyons que les trois fonctions elliptiques ^(2), iJ-(z)^ "-^ {^) s'expriment à l'aide des quatre fonctions synectiques

«=» r sin'^' 1

"' ~ 11 L' ~ cos'(2n + i)irp J '

«=- / sin' ^

9^ (z) = ces I I \ I ; / '

W . 2 TT Z -M-^ f W I

),{z) = — sin M \ I r- " h

Ces produits sont convergents dans tous les cas. Si l'on pose tjz=e'^'^P\ en supposant ^>o, on pourra les mettre sous la forme

(II

e, ( z ) = cos — jT

2 TT z -«--- W

{i-hr-y

( z) = sm I I 7 ■

5o LIVRE IV.

Ces fonctions sont celles qui ont été trouvées par Abel et Jacobi , à des facteurs constants près. Mais nous préférons, pour étudier leurs propriétés , les conserver sous les formes (lo), (i3), (i8), (21), sous lesquelles elles se sont présentées d'abord , et que nous écrivons de nouveau :

«^"' cosT^^ — (2«-r i)7rp I

(z)=lim TT L - ^ J^.

^ ^ AJ- CCS (2« 4- 1) 7rp

(iii)

1 (2«-f- iJTrp

i ces

"~" ces i 2. nirp

Q,{z}=\ïm TT -—^-^ ,

^ ^ A X COS 2 « TTp

"— " COS ( 1 inrco]

„— „' COS ( 2 « 7rp I

en convenant que, dans cette dernière formule, le diviseur

(lui correspond à ^ = o , au lieu d'être nul , est égal à •

Si , dans les deux dernières formules, on remplace l'indice inférieur — ri! par — ril — i, afin de le rendre le même que dans les deux premières , nous introduirons un facteur nouveau

[27r2 "1 Vl'nz n , , x 1 \-2(n'-hi)irp\ ces 1 \-2(n'-^i)7tp ï

— ou = — = y

COS 2 («'+1)770 Ttt / , X 1

COS

qui devient égal à « '" , quand n' augmente indéfiniment , la quantité s étant toujours supposée positive. On pourra donc

DÉVELOP. DES FONCTIOMS ELLIPT. EN PRODUITS. l5l

mettre les deux fonctions 9^ , Q^ sous la forme

2 71 zi n=^n

Q,{z)=: e "" lim Yl

COS l 2

Cl)

nnp j

ces 2. riTcp