CHAPITRE m
132. Nous avons fait voir que Ton peut exprimer les fonctions elliptiques à l'aide de quatre fonctions synectiques comprises dans la forme générale
•2h7tzi nz=n' ççy^\ j ^ (2/2-4-1 — ^) Tî'p I
ces
I «- {2n -\-i — ^)7rp|
Nous nous proposons actuellement d'étudier les propriétés de cette fonction 0, qui dépend des deux indices entiers a et b.
Nous remarquons d'abord que toutes les valeurs entières des indices se ramènent aux deux valeurs o et i . En effet, si l'on augmente l'indice a de deux unités, on augmente l'arc de TT \ les deux termes de la fraction changent de signe, et la fraction conserve la même valeur. On a donc
D*un autre côté, si Ton remplace b par b-\-2j on a
■2b7^ ^jTTZi "=^"' ces — ^ + « - — (2 «— 1 —b)7rp
@{z)a,t^.= e - ^ - lim JJ . L ^> ^ J
a {2. n — I — b)np 1
On introduit ainsi dans le produit un facteur nouveau, celui qui correspond an = — n' — i, et l'on supprime au contraire le facteur qui correspond à /i == 77' 5 le premier,
ces
-— -f-rt! - + ( 2 «' 4- 3 H- /^) Trp
cos
— iTVZi
a pour limite a "' , quand n' augmente indéfmimenl j le se-
PROPRIÉTÉS DE LA FOKCTION 0. l53
cond,
cos
cos
a pour limite e " , en supposant toujours s positive. Par cette modification, le produit est multiplié par e " j le facteur
e ^ étant introduit en avant, rien n'est changé dans l'expression, et l'on a
Ainsi la fonction & n'admet que quatre valeurs différentes, celles que nous avons examinées précédemment.
133. Sur les expressions (I) du n° 131, on voit que les trois fonctions 0, 0i, 6.2 sont paires, et se réduisent à l'unité pour z = o '^ la fonction ^3 seule est impaire et s'évanouit avec z. Sa dérivée devient égale à i pour z = o. On a en général
(4) @i-zU=(-,Y-''&{zU.
Les deux fonctions 0, 0^ admettent la période - ; les deux autres 62, 9 i admettent la période w, mais elles changent de signe quand on augmente z de -• On a en général
(5) ei^z+-j^={-,Y@(zU.
Si , dans la formule générale^ on remplace z par z -+- w', il vient
•^tlîi "="' cos [ "^^ -{- a -— (in- i-b)np] n^—n'—i ces rt^ (2/2-t-I— ^jîrp
en divisant cette valeur de 0 ( z -f- w ) par celle de &{z), on
l54 LIVRE IV.
obtient
