__„» \ 2.7CZ TT , I

, ,^/N cos ha (2/2—1 — 6)770

et, en supprimant les facteurs communs,

h« — h 2«'4- 3 4- ^ Tvp

eus I -\- u — \'J, n -t- I •

COS \-a — - \^i n' -h I — o ) TTp

Ce multiplicateur a pour limite ( — i)"^— ^'^^'+"')'^/" e " , quand n' augmente indéfiniment \ on a donc

(6) 0(2 + ro'U = (-i)«e-^^/"'e"^0(3)«,,,

OU bien

1 Ô(z j-VJ 0, (z4-w') Gafz-f- w') Ô3{z-h w')

) 0(2) ~~=^zT~ e,(z) - -63(3)

On voit par là que les fonctions 0 n'admettent pas la seconde période w', mais que lorsque Ton ajoute w' à la variable, chacune d'elles se reproduit multipliée par une exponentielle.

134. Si , dans la première et la troisième des formules (III) du n° 131 , on remplace z par z-^ j-, on a

n—n' VlTiZ TT "1

, . "-" cos 1 2«+«)7rp

Ô Z-+-:7 — lim TT ^ -. r -1,

\ 4/ ^^ cos ( 2 /z -4- I ) 77p

ITVZ TT

1 2. nnp

47 * J. cos 2 /z Trp

En comparant ces deux expressions à la deuxième et à la qua-

PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0. l55

trième formules, on voit que les rapports

sont constants. On obtient leurs valeurs en faisant z = o ou z = — -7î ce qui donne pour le premier dly] ou — ;— r- 9 pour

le second — ^— r-- D'ailleurs, les quantités ^1(7)5 ^3(7)

sont

il en

résulte

On a

donc

égales entre elles, puisque X ( -^ j = 1 . D'un autre côté, on a

Ainsi quand on remplace z par son complément - — z ^ les

fonctions ô et ô^, 09 et ôg, se permutent Tune dans l'autre à un facteur constant près.