En remplaçant de même, dans les deux premières des
ou bien
l56 LIVRE IV.
formules (III) du n^ 131, z par z -\ > on a
„„/ /27rz \
. ,. "— " ces 1 imzù\
e(. + ^\=Ii„, TT \" . '
\ 1) JLA ces (2/2 H-IJTrp
'27rZ TT
ces
.„. , — 2«7rp)
A / ^ \ 1- XT \ W 2 /
«=-«'-! ^OS 1^- — (2/l+l)7rpJ
en comparant ces expressions aux formules (IV) du même numéro, on voit que les rapports
iizzi "îTt zi
sont constants.
Si Ton fait
z = o ou z= >
on trouve, poui
" le premier rapport,
Ô ( nii ^
pour le second,
g—TZpi
La relation
donne
D'un autre côté, si dans la formule
on fait
il vient d'où
(.0) \ Kt)=7?' ■^■'
II en résulte les relations suivantes :
9 ( Z-f-— ) 9, (Z4-— ) TT . 2775.
on a
En remplaçant z par z dans les formules (7) et (11),
On déduit de là
^ ^ Hz) iQ,(z) y/A-
Ainsi, quand on ajoute — à la variable, les deux fonctions
0 et 02, Oi et 03 se permutent l'une dans l'autre à une exponentielle près.
2Tr5l
l58 LIVRE IV.
Il résulte de ce qui précède que les quatre fonctions 0 peuvent être ramenées à une seule d'entre elles, par exemple à la fonction 6. On a, en effet, en vertu des formules que nous venons de démontrer,
7t -2 71 ZC
sjkfi'
136. On en déduit aisément des formules qui permettent de calculer le module k et la période w en fonction du rapport p des périodes. En vertu de la première des équations (lo) et des formules (II) du n^ 13i , on obtient le module
La première formule (8) fournit de même le module complémentaire
La troisième des formules ( 8) donne ensuite
vF= ^' (i) = î^ n T^ ;
d'où Ton déduit la valeur de la première période
Celte dernière expression peut être simplifiée ; le facteur I — q^n+i)^ suivant que n est pair ou impair, est de la forme
li! recevant toutes les valeurs entières. On peut écrire
d'où
et par suite
On a aussi, en combinant les relations précédentes,
Autres manières de décomposer les fonctions elliptiques en quotients de fonctions synectiques.
137. Dans le chapitre précédent, après avoir exprimé les fonctions elliptiques par des produits d'un nombre infini de facteurs, nous avons évalué séparément le produit des facteurs du numérateur et celui des facteurs du dénominateur, en faisant augmenter indéfiniment d'abord /w, puis /z, ce qui revient, comme nous l'avons dit, à groiiper les facteurs par files parallèles à la première période o). Nous serions arrivés à d'autres fonctions synectiques en faisant croître indéfiniment, d'abord /z, puis m 5 ce qui revient à grouper les facteurs par files parallèles à la seconde période w'.
La formule (7) du n° 125, dans laquelle on remplace w par 1 w', devient
COS — '^
t: Il (OS —
l6o LIVRE IV;
si Ton donne successivement à /* les valeurs
Zo + /w — >
on obtient quatre nouvelles fonctions synectiques que nous distinguerons des premières par un accent
fTtz (2w-f-i)7rT
il7 47 J
cos
OC) = liin Yl
—m'—i COS
