Z /7Z TT

cos I — T

OJ 2 p

= lim

sin==-w

cos^

sin^

sin-^^ ^^ '—

cos

= — sin — -

sin-

sm' -J—

PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0. l6'l

Dans cette dernière , on fait la convention d'attribuer à I pour m =: o la valeur y

Supposant toujours la quantité s positive, nous mettrons la seconde et la quatrième sous la forme

'"— "* ces —r

ô^'^ =:e ""' lim

mtz

m=-m'-i COS — -

)^'^ =6' '"' lim

(Tzz 77 mr.\

I "K ffl'K\

et nous les comprendrons dans la formule générale

/) @^'\z)„,i,= e '"' lim

On a

Dans l'expression des fonctions elliptiques au moyen des fonctions 0 ou 0^^ , on peut remarquer que les deux indires a et h se trouvent permutés.

La fonction 0^^^ jouit de propriétés analogues à celles de la fonction 0. On a

138. On peut ramener les unes aux autres les fonctions 0 et 0^*^ Nous remarquons d'abord que la fonction paire

ne devient ni nulle, ni infinie, pour aucune valeur finie de z et se réduit à l'unité z-=zo. On a, en vertu des relations établies précédemment,

it i lu zi

On en déduit

^.log/^z4-^

dz w dz

fl?.Iog/(z-h w') ^Tzi <^ log/(z)

dz to r/z

et, par suite, . •

. r/Mog/(z + t,/)^«?Mog/(z}^ dz" dz" \

les fonctions

d\o^f[z) ^f'[z] ^Mog/(z) ^/(z)/--(z)-/^^(z) • dz /(z) ' ./z^ [/(z)p

sont monodromes, comme la fonction ^(^j) ^ la dernière admet

les deux périodes -•, o^' -^ mais cette fonction doublement

périodique, n'ayant pas d'infini dans le parallélogramme des périodes, puisque la fonction / [z) ne devient ni nulle ni infinie, pour aucune valeur finie de ^, est une constante, et l'on a

d^^ -""' d'oii

(Iz '

La constante jS est nulle puisque la fonction f [z) est impaire. Quant à la constante a, on la déterminera en remar-

quant que l'accroissement a - ou ao/ de la fonction ^— ^^^^-iii,

2 dz

pour un accroissement - ou w' donné à la variable z, doit être

, I , 2 TT / ^ ir: i . p . Ait i

égal a — ;- ou a - — ? ce qui tait a = -ï— ;-•

w * ww'

On a donc

dlog/iz) 4 77 zi dz ww'

et, par suite,

3 TT «' i

d'où