TT 2* J

139. Il existe une relation très-remarquable entre les fonctions 0, qui correspondent à des modules complémentaires A et k' . jNous avons vu (n° 107) que, si Ton appelle w et o)' deux périodes elliptiques de la fonction X (2, A), la fonction

/ (z, h') admet les périodes elliptiques — 2w'/, — > dont le rapport est — y — La formule (i) devient

h:zz """' cos ( ^ + «- — (2/2 4- I — ^)^I (z,l,'U, = e '■' lim n ^-j-^ -'^-^■,

en la comparant à la formule (17) on voit que

ÎNous avons groupé les facteurs par files parallèles à la direction w ou à la direction w' ^ on peut encore les grouper d'une infinité d'autres manières, ce qui conduit à de nouvelles fonctions synectiques. Imaginons en effet que l'on remplace les deux périodes w et w' par d'autres périodes Wj et o)', formant un parallélogramme élémentaire et que l'on groupe les facteurs par files parallèles à l'une des périodes Wi ou w, , nous

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obtiendrons de nouvelles fonctions synectiques différentes des premières. Mais toutes ces fonctions se ramènent à la fonction 0, comme nous allons voir.

Équations différentielles auxquelles satisfont les fonctions 0.