Reprenons la relation

^/ , I \ an i — 2 TTC i w ^ / \

En prenant les logarithmes, et différentiant, on a

c?log0 (z -!-&/) 4 TT I d.\o^@{z)

dz w dz

r p ' 1 d\Oi-e(z) 0'(z) . . „

La lonction monodrome — — '— ou — 7—^ est impaire: elle

dz @{z) r '

admet la période ~ 1 et, quand on ajoute 0/ à la variable, elle

éprouve un accroissement constant — - — • En différentiant une seconde fois, nous aurons

r/2 log 0 (z + w') d' log 0 [z]

.. . . ^ . j r/Mog0(z) 00"0'2

Ainsi Ja fonction monodrome -, ou admet

dz' &'

la seconde période o)'. C'est une fonction paire doublement périodique du second ordre ^ le parallélogramme élémentaire,

formé sur les deux périodes-? rô\ est la moitié du parallélogramme relatif à la fonction 1-^ elle admet comme infini double, dans chaque parallélogramme élémentaire, le zéro de la fonction 0 situé dans ce parallélogramme. On pourra donc l'exprimer aisément au moyen de celle des fonctions ).*,

— , — , -, qui, ayant les mêmes périodes, admet le même infini

^2 p2 yi

double. Si, par exemple, on considère la fonction 0i, on aura d'Um 9. iz) , ,

prophiétés de la fonction 0. i65

On peut délcrminer les coefficients par les considëralions suivantes.

141. Les fonctions elliptiques /, ^, v sont définies par les équations différentielles

que Ton peut mettre sous la forme

\ dz )-

En dirterentiant, on obtient les équations du second ordre ff" log > I

^ dz^ u.' u-

r/MoL'v A'^ ,,. A'^

dz' v- V-

Si dans les premiers membres on remplace /, a, v par leurs valeurs au moyen des fonctions 0, ces équations deviennent

Ces quatre quantités égales, étant des fondions doublement périodiques qui n'ont pas les mêmes infinis, sont égales à un même constante «

l66 LIVRE IV.

En faisant z =o^ on obtient la valeur de cette constante

(22) cc = 0" (o) -i- k^== 9'[ (0)=: 0'; (o)-\- I.

14Î2. De quelque façon que Ton prenne les fonctions 0, elles satisferont toujours aux équations différentielles (21)seulement la valeur de la constante a changera. On peut donc considérer les fonctions 0, que nous avons étudiées jusqu'à présent, comme des intégrales particulières des équations (21)5 les intégrales générales sont

j3, y étant des constantes arbitraires.

143. Voici encore une propriété de la fonction 0 qu il est bon de remarquer. La fonction monodrome paire

est doublement périodique, aux périodes - et w^ elle admet comme infinis doubles les zéros de© {z)\ on l'exprimera au moyen de celle des fonctions 1^. —•> — -? —qui admet le même

infini double: il faut prendre la fonction 0 avec les mêmes indices ati numérateur^ mais les indices de 0 [z) au dénominateur pourront différer des premiers.

On aura, par exemple,

la fonction devant s'annuler pour zz=±a, et se réduire à l'unité par z=^o.

On aura , de même ,

/ r\ ô, (aH-z)Ô, fa— z) , , ,

DÉVELOP. DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIRCULAIRES. 167