DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES CIRCULAIRES
Développement de la fonction 0.
144. Si l'on pose ? = e ^ , la fonction 0, admettant la période w, est monodrome par rapport à 1 5 d'ailleurs elle conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de t^ excepté pour ^ = o et ? = 00 • en vertu du théorème II (n" 30), elle se développe en une double série convergente suivant les puissances entières, positives et négatives de t.
Quand on remplace z par z -| — > on change le signe de t.
(fi La relation
démontrée au n° 133, fait voir que la fonction 0 ne change pas si b est pair, et change de signe si b est impair. Dans le premier cas, la série ne contiendra que les puissances paires de f, dans le second cas que les puissances impaires. Cette série sera donc de la forme
m =^-+-00 , ..lu zi (2 m-r-b)
»i = GO
l^S. Il s'agit de déterminer les coefficients A '"■. Si Ton remplace z par 2 -t- o>', il vient
De la relation
l68 LIVRE IV
démontrée au même numéro, on déduit
0 (3 4- «%, = (— lYc—'^P^'^AC^
2 7rSJ
la comparaison des deux valeurs conduit à la relation
En donnant successivement à m les valeurs o, i, 2, m — I , on a
d'où l'on déduit, par la multiplication, On obtient ainsi l'expression
I (2 /n +t) - -h (w* H- mb) p 1
27rt
que l'on peut mettre sous la forme
a^b m =:4-oo F, 2 ,,p1
2 7ri (2w-f-t) - -h (2m+ij'i-
Nous avons affecté la constante A , c'est-à-dire le coefficient du terme correspondant à m z=z o, des deux indices a et b^ parce que la valeur de ce coefficient dépend de ces deux indices, et nous avons compris dans cette constante le facteur
tt* A iz b^ pi
Puisque
DÉVELOP. DES F03NCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIUCULAIRES. 169
il est clair que
Si dans la formule précédente on remplace b par 6 -h 2, ou a
- — ^-^ 27rii[2(m-M)-f-i]iH-[2:m-hi)-h6]*fï
en observant que (— i)"'"' = ( — i)''' = ( — i)'', ou
Mais on sait que
0(z)û,i+2=0(z)fl.6-
0)1 en déduit
Ainsi toutes les constantes se réduisent aux quatre suivantes
146. On peut faire dépendre ces quatre constantes de deux d'entre elles. Dans la formule (i) faisons b z= o ou b = i^ nous aurons
2 TT « j 2 w/ — -h m* ^ j
37ri (2AH+ l) - +(2nn-i;-^ I
1 1 1 • ' " et, eu remplaçant dans la première z par z H ?
/ V 2 :: I li m — h (m* -f- m) a \
On en déduit, en donnant successivement à a les valeurs o et 1 , '
-Kpl 'iTZ Zl
Ao,i
h{T') Aor
2 / A, .9 2 Oi
iQ,{z) A,.
en comparant ces équations aux équations (11) du n*^ 135, on obtient les relations
Ao, 1 Al, 1 1
Ao,o A,,o \/J'
on a donc
Aa,o
ou, plus généralement,
Aa.ô = Aa,o ^'
Ainsi toutes les constantes se ramènent à deux, Ao, 0 <^'L A^^o- 147. De la formule (i) on déduit
Si dans cette dernière formule on remplace z par z-^ j-> îJ vient
'2 Tri (2m hm* |0 j
DÉVEL-OP. DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIRCULAIRES. I 7I
En vertu de l'une des relations (9) du 11° 134, on a
et en général
(3) ■ ■ A„,, = Ao,oX-' ^
La relation (2) devient ainsi
;l l'on arrive à la formule générale
ia-b (— l)a— I (r/— I
'=2c r s /si
m=: — DC
qui représente dans tous les cas la fonction 0.
148. En appliquant cette formule générale aux quatre fonctions 0, on a
m= — oc m— ^
(II
/w= — oc m =00
i-il \-r,rp
Tn= — oc w=oe
TT / j ^^ — ''" -h ( 2 n/ -4- I )
Si l'on groupe les lermes deux à deux, ces formules deviennent
e (z) = A i-}-2 2^ e CCS -î— — ,
L w=. I Jl
m= I Jl
