V (— i)'"7"'*cos2//?j: h

X TT (l —2.q"' COS2.r + «7^")

sin

= ?(7)y] (— i)'"7'"^'"-^'^ sin(2m -M)^.

Les deux membres de chacune de ces égalités sont ideniiques, quelles que soient x et g. Remplaçons ç par q^, et multiplions membre à membre, en remarquant" que le produit des deux premiers membres donne le premier membre de la seconde égalité, nous aurons identiquement

m=zc

X V (— 1)"'7''"^''"^'^ sin(2/w -M).r = ? ( 7 ) y. (— 0'" 7"' ^""^'^ ^in ( ^ "2 •+■ 1 ) .-^-.

En égalant les coefficients des termes en sinx, il vient

Mais si dans la seconde des égalités primitives on fait .r = -,

on a

Yl (.+7»)==t(î) 2 r '■'*";

on en déduit la relation

n=;oo n=-co

OU

n=r.co n=:co

En remplaçant de nouveau q par q^ et ainsi de suite indéfiniment, le module de ^ étant moindre que l'unité, on arrivera à l'unité comme valeur constante de cette fonction ; on a donc

n=:co

?(-?)- n Tir---'

et, par suite,

En comparant cette formule à celles du n" 136, on obtient la relation

DÉVELOP. DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIRCULAIRES. 1^5