DES QUADRATURES ELLIPTIQUES

La première traiiscendanle esl l'inverse de ce que nous appelons la fonction elliptique À-, s\ x = l(z)^ elle aura pour valeur la quantité z que Ton pourra augmenter de multiples des périodes w, w', suivant le chemin suivi dans l'intégration. Ayant adopté un signe pour désigner une fonction directe , il convient de le modifier de manière à représenter la fonction inverse. Nous ferons précéder le signe de la fonction directe de la lettre I, initiale du mol inverse. Ainsi nous écrirons

D'après cela, on a

La seconde transcendante a été calculée au n'^ \Kfi\ on a trouvé

0", (o) 1 d log 6, (z)

= V z 1 dz = ; z , ,

La troisième transcendante, mise sous la forme r^ d,r __ Ç' dz

a été trouvée aussi au n** 162,

C'est à Jacobi que l'on doit l'expression si remarquable de la seconde et de la troisième transcendante à l'aide des fonctions 0.

Legendre simplifiait un peu les trois intégrales précédentes

en posant (108)

X = sin ^.

On a alors

/•- sin' çj

rx^ dr / " sin-fp*-/^ J^ j o ^^ ~ Jo si i — k' sm ^^ ^' Jo

y/i — -<-'sin'<p

^ Jo P d.v Ç' dj ^

X {i--- ax')àx~ J^ (i rtsin'^) Vi — k'sin'r^'

igS LIVRE IV.

et les trois intégrales se ramènent aux trois suivantes

(II) 1 v/i — /5'sin^(p^/^,

flll)

Jo (i — .<3 sin^tp \/i — X'sin^

Ce sont là, à proprement parler, les trois fonctions elliptiques de Legendre. Il représentait la première par le symbole F((p,/r), la seconde par E(cp, /f), la troisième par

On a donné à ces intégrales le.nomdeyo72c^zow5 ellipliques , parce que la seconde donne la longueur d'un arc d'ellipse. Soit en effet l'ellipse ayant pour équation

on peut poser

X =z a sin cp , y =: h ces (p ,

et la longueur de l'arc d'ellipse; (ompté à partir du sommet du petit axe, a pour expression

af'i.

ro d (^

e désignant l'excentricité de l'ellipse. L'angle cp a une signification géométrique très-simple^ si, sur le grand axe, comme diamètre, on décrit un cercle, que de l'extrémité de l'arc on abaisse une perpendiculaire sur le grand axe , et que l'on prolonge cette ordonnée jusqu'à la rencontre du cercle, le rayon qui va du centre à ce point du cercle fait avec le petit axe l'angle (p.