Considérons la fonction mouodrome doublement périodique

dans laquelle nous regardons t comme une constante et 2 comme la variable. Celte fonction impaire, qui a les mêmes périodes que ^(2), admet qualic infinis, savoir, les deux infinis

z = t cl z = i de / ( z H- f ) , et les deux infinis

Z = h- 1 et Z = ht de a (z — t). tAle admet aussi

quatre zéros : eu effet, pour c[uef[z) soit nulle, il faut que

).{z-ht)=—\{z~ t) Z=).{t — Z),

ce qui exige que

Z -^ t = [t — Z ) -f- //y oj -t- « w ;

, . , I . . oi /// &) n &)

mais cette dernière conclilion t =^ -r -\ [ ne i>cut

avoir lieu, puisque t est quelconque^ la première

donne les {[iiatrc valeurs

de ces quatre zéros de la fonction /^ [z) ^ les deux premiers sont les zéros, les deux autres les infinis de A [z).

Il est facile de former, au moyen de la fonction ^ (^), une fonction doublement périodicjue qui admette les zéros et les infinis de la fonction/ (z). Considérons en effet la fraction

Le premier facteur du dénominateur s'annule pour

le second poui

\~ t et zz= t;

Z =z t et Z :=

ces quatre valeurs sont les infinis de/(z), ainsi la fraction admet déjà les infinis de f(z). Le numérateur s'annule pour

et z =z~;

ce sont les deux premiers zéros def(z) ; d'autre partie numérateur étant du premier degré et le dénominateur du second degré, les deux valeurs

— et Z =:3 ,

qui rendent X (z) infinie, sont des zéros simples de la fraction; de sorte que la fraction admet aussi les zéros def(z). Ainsi la fraction considérée, que l'on peut mettre sous la forme

i — A-n.'{z)V{ty

a les mêmes zéros et les mêmes infinis que la fonction f{z). Mais nous savons (n"39) que lorsque deux fonctions ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, ces deux fonctions sont égales

à un facteur constant près -, on a donc

Pour déterminer la constante A, on prendra la dérivée, puis on fera z = o, ce qui donne 2 //(/) = A. Il en résulte

Si dans cette équalion on permute les lettres z et t, il vient

En additionnant ces deux équations, on obtient îa formule suivante

(I) -(' + 0- ,^kn.'i.)Vit) '

qui est connue sous le nom de Thèoiètne fie V addition des fonctions elliptiques. La démonstration que nous en avons donnée est due à M. Liouville.

169. Le même mode de raisonnement permet de trouver Lexpression de a (2 H-/) et celle de v(s-t-/). La fonction impaire

a(z-^t)— 'j.iz- t),

dont les périodes sont w et w' H — •> admet les infinis de chacune des deux fonctions y.[z~{- l) et p. (z — i), et par conséquent les infinis des deux fonctions /(2-1-O et l[z — t) ^ comme précédemment. Pour annuler cette fonction, c'est-àdire pour rendre a ( ? -\- t) égale à ly. (r — t), il faut que

doù

colle formule se décompose en deux

suivaJll que l'on aiuibue à ii des valeurs paires ou impaires ^ la première comprend les zéros de ); (z) , la seconde ceux de v (2). Ainsi les zéros de la fonclion proposée sont ceux delà foncliou

On a donc

En prenant la dérivée el faisan l ^ r^p o, on irouve

2p'(r) -- — A, il en lésuhe

La fonclion paire

admet encore les mêmes infinis ([ue la précédente. Celle fonclion s'annulera si

ll.{z-\-t):=-i^{z-t)=u. [^^z~ ty

ce qui exige que

d'où

celle foimule se décompose en deux,

5 — w'- + 2;z'~f- il —

ADDITIOJN DES FOKCTIOKS ELLIPTIQUES. 2o3

suivant que n est pair ou impair. La première comprend les zéros de ^. (z), la seconde les infinis de A (z). On a donc

u.(z-|-^-hfX2— Tirrr , , ; '

En faisant z = o, on trouve 3 y. (/) =:: 1^. Ainsi et, par suite,

170. On obtiendra v [z ~h t) de la même nianièie. La fonction impaire

dont les périodes sont - et 2w', admet les infinis de / (z -h /) et ceux de 1 [z — t); elle s'annule quand

c'est-à-dire quand

z H- ? =dz(z — t) -}- m h 2 A? w',

cette formule se décompose en deux,

zz=.m \- nui y

zz=.{im H- I y y -t- // w ,

suivant que m est pair ou impair; la première comprend le: zéros de / (s) , la seconde ceux Ae p.(z). Ainsi la fonction proposée admet les mêmes zéros que la fonction

•/(s) = — X-^/l Z)fx('2).

On a donc

2o4 LIVRE V.

En prenant la dcrivrc et faisant -s = o, on trouve

La fonction paire

V ( z -4~ 0 + '-^ ( ^ ~ 0 s'annule quand

c'est-à-dire cjuand

d'où

cette formule se décompose en deux ,

suivant que /// est pair ou impair : la première comprend les infinis de X (z). la seconde les zéros de v(z). On a donc

Av(z)

En faisant z = o, on trouve 2V (/) — A ; d'où

(6) ,(,4-,)-Hv(z-o= 7zrFv("^yF(7)'

et, })ar suite ,

(III) v(z + 0 =

ADDITIO DES F0NCTI03NS ELLIPTIQUES. 2o5

17i. Des Ibrinules précédentes, on déduit et. si l'on remplace les dérivées par leurs valeurs,

On en déduit encore la formule

^[z-^ t) = u.{z)^(t) -\{z)l{t)-j(z-{-t), à laquelle on arrive par la considération d'un triangle sphérique.

On a aussi

i[,)y{t)~\iny{z)

et, par suite,

addition des quadratures elliptiques de seconde espèce.

172. A la transcendante E de Legendre (n« 167), nous stibslituerons, avec Abel et Jacobi , la fonction monodrome impaire

avec laquelle elle a une relation très-simple et nous la désignerons par 'vj> {z).

L'équation

dans laquelle on met le développement de / ( ^-^ -h /) , devient

[\{z)yit)-^\{ty,\z)]l(z-t):='.^{z)-\^it)',

si Ton remplace z par z 4- /, et que Ton permute ensuite les lettres z et t^ on a

[^z-^tyK\z)-^).[zy/{z-hty\).{t)==l'{z + t)-v{z).

Le premier membre étant une différentielle exacte par rap-

2o6 LIVIIE V.

port a z, on trouve en intégrant

V{z-\-t)dz— / V{z)dz = \[z)'h{t)\[z-\-t). o Jo

Puisque

\'(z~{-t)dz=z y'{z)dzz= j l^[z)dz^ \'(z)dz,

J i Jo Jo

on obtient l'équation

(V) -i^ [z -h t) = -hiz) -\--^(t) -h'i. (zYk {t)l[z ^ t) ,

de laquelle on déduit facilement celle qui a été donnée par Legendre pour l'addition des fonctions de seconde espèce.

173. On peut déduire cette formule de l'expression de la fonction ^ (2) à l'aide de la fonction 0. On a (n*^ 161)

(.0) .Hz)==^:,[.r,(o) ^'J,

et, de même,

. / N ï f/ ^ ." - fi^log 9, (Z -h 0'

lj^(2^^)ry;(o)-

Puisque (n" 143)

celte équation devient

i-/-P(OV(z),

On en déduit, en permutant les lettres z et f,

ADDITIOIS DES lONCTIOJSS ELLIPTIQUES. 20^

et, par suite,

^[z-h t) — ■l>{z) ~^it) — \{z)l{t\'/.{z-i-t).

addition des quadratures elliptiques de troisième espèce»

174. Jacobi a substitué à la transcendante de troisième espèce de Legendre la fonction impaire

fiz ,

qu'il représente par le symbole H (z,a)j la variable z étant Vargunient, la constante a \e paramètre. Celte fonction s'exprime aussi à l'aide de la fonction 0; on a (u" lO^Î)

/ \ - V «^/iOL^Ô, (al I , G, (z — a)

(II) Y\[z,a) = z y^ +rlog '^ ^

dx -1 '^ &, (z -h a) On a de même

, . <^logS, (y. ) I , 9, i7 — a)

dx 2 '^^.(r + a)

et^ par suite

y n(2 -^^a)-n(z, a)— Il(/,

(i?-) J ___i j^^0.(/ + a)ô, (zH-a)0, (z + ^— a)

2 *'Q, (f — a)0, (z — a)G, (z -t-^-f-a; L'expression

1,(^-f-aj 9, (s -f. a) &,(z + / — a)

dans laquelle nous regardons z comme la variable et que nous désignons par F (z), est une fonction monodrome doublement

périodique, aux périodes - et w^ comme on le reconnaît aisément d'après les propriétés de la fonction 0. En général, la fonction

2o8 LIVIIE V.

adinetlra la seconde période w' si la condilion a -h j3 = a' -h |3' est vérifiée^ ce qui a lieu dans le cas actuel. La fonction du second ordre F (z) admet les deux zéros

z =: — oc -\ 5 Z ::= — t -+■ C(. -h —

et les deux infinis

et se réduit à l'unité pour ^ = o.

On remarque que les infinis ne diffèrent des zéros que par le signe de a.

ITd. On peut exprimer de plusieurs manières cette fonction ^ F (^) au moyen de la fonction À. Considérons la fonction doublement périodique du second ordre

aux périodes -5 w', aux deux infinis z = —•> zz=: — - — S. dont ^ 3. ' 2 2 ' ' ■

la somme est égale à o)' — [3. Pour exprimer la fonction F {z)

au moyen de la fonction y' (2), on posera

et Ton déterminera les constantes par les relations

— / -— a H f- /? = w' — fJ — r/',

de manière que les deux zéros de F (z) annulent le numérateur, et les deux infinis le dénominateur (n° 74). Ces quatre rela-

lions se réduisent à trois, et donnent

co'

et Ton a

La valeur de [3 est arbitraire. Si l'on fait en particulier ^ = f , on a

(l3\ Ff-l— ' -4- A- A (g)), (z) ).(/ — «)/ (2+/)

176. On arrive à une expression plus simple en employant les deux fonctions du second ordre

qui admettent, la première les deux infinis

dont la somme est — t — a -f- w', la seconde les deux infinis

dont la somme est — i-\~ :f.-\- w'. Considérons la fraction

les valeurs z ■=! — t -\- a. -\ , z — — 1 — cl^, rendant

infinis, la première le dénominateur, la seconde le numérateur, la fraction admet déjà un zéro et un infini de F (z). La

valeur ^ = — 5 qui rend infinis à la fois le numérateur et le

dénominateur, n'est ni un zéro ni un infini de la fraction. Nous pouvons disposer des constantes q Q\.q' de manière que les

valeurs z ^= — oi-\-—-> 3 = aH ? annulent, la première le

numérateur, la seconde le dénominateur^ nous poserons pour cela

Le second zéro du numérateur et celui du dénominateur étant égaux tous deux à — î -h — , ne rendent la fraction ni nulle ni infinie. On a donc

et, par suite,

I n (z -+ ^, a) — Il(z, a) — n(^, a) ( VI ) — 1 1 T I H- ^'^ (a.)\[z)\[t)\ (z 4- ^ + g)

C'est la formule trouvée par Legendre.

177. On obtient encore une autre expression de la manière suivante. De l'équation {12) on déduit, en changeant le signe

de f,

d'où

n{z-{-t)-hn{z — t] ^ 2.n{z)

— J.I0 iî(2-ha)G,(2~a-hr)ô,(2— a — ^) ~2 ^^ ôj (z — a) 0, (z + a H- r) 0, (s -r a -^ 9, ( z — g -f- r) Qt (z — g — / )

^iiogii^EiïiîE^nz,

et, en vertu de la relation (24) du n« 143 dans laquelle on remplace z par z — a ou par z -\- x,

n (z + 0 + n {z-t; - 2n (z) = 1 log ^ - ^^AMO)--(.-a)^ On en déduit . en permutant les lettres ^ et j^,

^ ^ ^ 2 ^ i — A^-y^iz)',^t-i-ocy

d'où

^ n(z 4-^, a)n(z, g) — n(^, a) II en résulte cette troisième expression de la fonction F (z),

178. Nous nous sommes occupés de l'addition de l'argument dans les fonctions de troisième espèce; on obtient des formules analogues pour l'addition du paramètre.

Voyons d'abord ce que devient la fonction quand on permute l'argument et le paramètre. L'équation (11), en vertu de la formule (10), peut être mise sous la forme

(17) U{z, oc) = oczB\ {0I-. Pz^ (0,) -i- -\o^^tIl^.

On a de même

2 " Oi[z -+• x)

212 LIVUE V-

d'où

(18) ri {z, a) - n(a, z) =z P [a.^ (z) - z^ (a)J.

On en déduit n(z, a-f-p) — n(a+p, z) = Â=[(a-h 3) ^ (î) — 2 4* (« + ^ ) ]> et, en vertu des équa lions (V) et (VI) ^