CHAPITRE II
Calcul de proche en proche.
179. Nous avons donné, n" 168, la formule par laquelle on exprime \[z-\~t) en fonction de '^[z) cl de ?<(^)*, à l'aidci de celte formule, on peut calculer successivement l[iz)^ ^ (3-2), . . • ', on trouve ainsi
, .,3-4(i-t-Ao;;-(o + 6A-^;-^(^)-A-;«(i;]
^\ 4«)— i 2oA*;*H-32A»(n-A^)/«— A5[i6(n-A*;*-h26A2];'-t-32A*(H-A*);"'— aGA^^'^-f-A' On voit aisément que l'on obtient la valeur de 1 [nz) en multipliant une fraction rationnelle de ^^(2) par ^ (z) si n est impair, et par À (2) }! [z) si n est pair. Mais, si Ton veut continuer ce calcul de proche en proche , la méthode précédente doit être modifiée, afin que les deux termes de la fraction par laquelle s'exprime ). («7) n'aient pas de facteurs communs. Voici la marche indiquée par Abel.
i80. Si, clans la rormulc (n*^ 171)
on fait
a z= {m -+■ i)z, b=:mz,
il vient
(ï) A(2m H- iJZ.AZ^: — — ; r —7 ^,
^ ' ^ ' I — h^V \m -\-\)z.V\mz\
On a, d'autre part,
2 A [mz\ // {mz\
(2) \[imz):=
Ce sont les deux formules que nous allons employer. Posons, en général ,
Q,,^ étant un polynôme entier en À (2), P,„ un autre polynôme entier si m est impair, et le produit d'un polynôme entier par // (2) si ni est pair 5 nous supposons dans tous les cas les deux polynômes premiers entre eux , et comme d'ailleurs les zéros de
Pm
/'(z) ne rendent pas infini \\mz)^ la fraction -^ sera encoie
irréductible dans le cas où in est pair. L'équation (2) donne
P^ 2 P^ Q^ y/ioT— P,;, ) (Q,n — i^- P,l) ^ 2P,.Q..R«
Qim ~ Qfn - ^' P,« Qm — h-' P;t.'
en désignant par R,„ le radical v/(Q;i — Py (Q'. — A* P,',). Les deux fonctions , P,„ Q,„ R,„ , Q*„ — A" P,'„ , ne pouvant s'annuler simultanément, on a
1 P^w ^^= 2 P^ Qm R,„ ,
L'équation (1) donne
■» 2mH-l ï r w-f-i V'" " '" \2"'-+-'
2l4 LIVRE V.
Les polynômes , P;),^, Q;i, - P;;. Q^,^, , Q;,^, Q;. - k' V^, VI , sont pr(3iiiiers entre eux. Supposons, en effet, qu'ils deviennent nuls pour une même valeur de A (^) • eette valeur, ne pouvant annuler aucune des quantités P,„, Q,„, P,„^j, Qm+15 satisferait aux équations
V{m -^\)z~V [mz), V (m + \)z.V (mz) — -^•,
d'où
V (m -f-i)z= V{mz) —±7'
D'autre part, on a
1(1/1 -+■ i)z\' [mz)-^ A ( inz) V [m -f- 1)2;
1 [Otm -\- i)z r=z
i ~ An'{r?iz)V{m -r~ i)z V{m-\- i)z — A^{niz)
1 [m -{- i) zY { mz ) — A mz V [m -h i)z
on devrait donc avoir pour cette valeur de ^> (^),
A (m -\~ i)zy { mz) + A ( mz ) a' ( m -h' i ) 2; = o , X ( /w -}- i)zy (^ mz) — 1 ( mz) V (m -{- i) z =: o;
A (m -+- i) z.y [mz) = o j
c'est-à-dire
V (m -h i)z[i — y{mz)] [i — ^'y{mz}] =z o, résultat incompatible avec la condition trouvée précédemment
V{mz)~y{m -^ i)z~±:j' On aura donc
l Qî/rt-f-l ^^^ Qw-f-i Q'" '^'^ Pm-Hi P"i •
Si l'on part des valeurs P^ = A (z), Q^ =: i , les formules (3) donneront Pg, Q,, puis les formules (4) P3, Q3 j les formules (3) donneront ensuite P4, Q4, puis les formules (4) Pg? Q55 et ainsi de suite indéfiniment. On voit que V,, est un polynôme du degré 2//' 011 du degré 2«^ — 2, suivant que Ji est impair
MILTIPLICATION. 2l5
OU pair ^ comme dans le dernier cas il a pour fadeur le polynôme du quatrième degré V'^ (z), il en résulte que P„ est un polynôme du degré n^ si n est impair, et le produit de X' (z) par un polynôme du degré fi^ — 3 si « est pair. Q„ est un polynôme du degré n^ ou n- — i , suivant que n est pair ou impair. Nous observerons encore que Qi et Qo ne contenant pas de terme du second degré, il en sera de même de Q3, Q;,
Calcul direct de X (nz).
181 . On peut se proposer de déterminer directement / (nz)^ sans calculer ). (22;), / (3^), . . . .
Supposons d'abord ?i impair. La fonction ^[nz) est une Fig. 3o. fonctionelliptiquequiapour
perjodes -, —
périodes -, — , ses infinis sont
&> <0 OJ
ses zéros 0, —
