n in in
lu
Soit OACB [fi^- 3o) le parallélogrammeélémenlaire delà fonction X( i: ) -, divisons chacun des côtés Ox\, OB en n parties égales , 0«i ch^ sera le parallélogramme élémentaire de la fonction / (/i^) ^ le premier contient iv fois le second , il renferme irv infinis de la fonction X [nz)
et 2 n ' 7-éros ,
pti>-\-q^
chacun des nombres entiers)^, q recevant les n valeurs o, i, 2 , . . . , n — I . Les sommets des parallélogrammes de la fonction X(rt2) correspondent aux zéros «, pour avoir les zéros a
il suffit de déplacer le réseau de la quantité — ; de même pour
2l6 LIVRE V.
avoir les infinis a, il suffit de déplacer le réseau de la quau-
lité — ; un second déplacement — donnera les infinis a'. in ^ ?. n
On peut grouppr chacun des infinis a avec un infini cf! de manière que leur somme soit équivalente à - : l'un des groupes
est — ) Soit L le produit de tous les facteurs binômes
[>(s)-X{a,)][i(^)-A(«.)]---[M^)-M''.-i)] qui correspondent aux infinis a, — excepté ; ce polynôme admet comme zéros tous les inflnis a et a', excepté — et
De même on peut grouper chacun des zéros a avec un zéro <^/de manière que leur somme soit équivalente à -•, l'un des groupes
est o , — Désignons par M le produit des facteurs binômes
qui correspondent aux zéros a , o excepté \ ce'polynôme admet comme zéros tous Jes zéros n et « , excepte o et -•
Les fonctions X ( /? ^) , — — ^ — ont toutes deux pour périodes
w, 0/5 la seconde ayant pour infinis simples —, ? puisque le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur, les infinis et les zéros sont les mêmes dans chaque parallélogramme , donc le rapport des fonctions est constant et l'on a
(5) X(/z3)^GM2)^-
On reconnaît facilement que les polynômes entiers M et L, qui sont du degré n^ — i, ne renferment que des puissances
paires de A ( z), puisque les infinis de la suite a, — excepté, et
MILTIPLICATIOJV. 21 7
les zéros de la suite «, o excepté, se réunissent par couples ayant pour somme w.
182. Considérons maintenant le cas où n est pair. On peut réunir deux à deux les infinis ce par couples ayant la somme
~ 5 et de même les infinis %' ; aucun de ces infinis n'est égal à
ceux de À (z). Appelons L le produit des rr facteurs biuômes
les nombres ol^^ ol^^ ... a„ï, étant pris un dans chaque couple. La suite a ou la suite a' ^ suivant que n est de la forme /\n'
oudelaforme 4'^i'-l-'^>comprendles lermesdz j^ ± y -\ qui
sont les zéros de )/ ( z ), les autres termesde chacune de ces suites
se groupent comme les infinis ; l'un des groupes est —
un autre o , -• Désignons par ]N le produit des tr — 4 facteurs
dont chacun correspond à l'un des couples formés , excepté les
quatre précédents.
Les fonctions X (nz) , - /(^j "/! (z). aux périodes w et w',
ont , dans chaque grand parallélogramme, les mêmes zéros et
les mêmes infinis; car - /(s) )/ [z) devient nulle pour 2= —
et pour z = • Un a donc
(6) \(nz)=c^j.{z)y{z).
On reconnaît, comme dans le cas de // impair, que les deux polynômes jN et L , le premier du degré îr — 4 ■> 1^ second du degré n^, ne renferment que des puissances paires de X (z).
Cdicul fies coefficients, 183. $nit rn prcmi(^r lieu // impnir. désignons / (/?r) parr,
21 8 Ln IlE V.
/ ( 2) par II , et posons
Si l'on fait z très-petit, le rapport- tend vers rij donc a^^ Remplaçons z par [- 2 5 il vient
lin h «3 I =■ À ( f ■ nz
n se elianefe en-— et p" en — : d ou
" Au kv
I/identification de cette valeur avec la précédente donne les relations
(]ui se réduisent à
= nh ''■ , k' è„î 3 ~n,k ^ , k''b„^,, — a, k '^ ,..., k""-' b,=a,,,^,, k
Nous avons démontré (n'^ 180) que Ton a ^^ = o 5 la relation
^*«n2 3 = ^2 <^»--i donne «„2 3 = o,
- '' ^ Il ne reste plus à déterminer que les quantités a^ .
a^, . . ., rt»2 3 et le signe de a„z i. Pour y parvenir, on peut, par exemple, développer w^ u et ses puissances, suivant les puissances ascendantes de la variable z et égaler les coefficients des
mêmes puissances de la variable dans les deux fonctions
on obtiendra ainsi autant d'équations du premier degré qu on le voudra entre les coefficients inconnus.
L'identification des deux expressions de 1 (jiz) montre que les deux fonctions (p et (j> satisfont aux relations suivantes :
Au / A"'u"
' \ 1,1 ln-~ 1 ,,n- 1 \ '
