Soit en second lieu n pair. Posons
Le coefficient «0 est encore égal à //, Si Ton remplace z par
fti , i , i, .
\-z, 7/ se clianffc en -— ) r ne chansfe pas, et 1 on voit,
2 ° Au Cl
d après la relation
qu il faut remplacer
s/(i — «')(i — A-2«») par — -^ y/(, „î )(,/•'/«''] , L identification des deux expressions de i^ donne les relations
bn^ b,rz b,,z bn^
d'où bni-2 = O, bni = A- ^ , ^n^— '', ^^ o-
En substituant cette valeur de b,, dans les relations précédentes, on obtient les rapports de deux coefficients équidis-
laïUs dos extrêmes dans les deux polynômes qui servent à exprimer la fonction p*.
Les fonctions cp et ^ vérifient les deux relations
? 77; ='Ti^.n^'^^'')'>
fe)^yP^^("
185. Les fonctions cp [u) et^^ («) satisfont à deux équations différentielles du second ordre qui pourraient également servir à déterminer leurs coefficients.
On a en e(fet
du
dz ^
dv
d [nz) z= ndz ;
d'où
On peut écrire cette équation sous la forme
(, - „.) (, ,^ „) (^') = «■ \j. - {■ H- n + ^'"'Ji
on en déduit, en la différentiant,
Posons , pour abréger,
I dA
puis remplaçons v par le quotient j-t-^? l'équation précédente devient
^ du^ \ du ' du
^^s-isyi-'S-"'
Ml LTIPLICATIO^. 221
Si n est impair, les tonctioiïs cp et ^ étant des polynômes premiers entre eux, les deux fractions précédentes ne peuvent devenir infinies pour aucune valeur finie de la variable m, et, par conséquent, se réduisent à des fonctions entières; il est facile de voir, en outre, que les degrés de leurs numérateurs surpassent de deux unités ceux des dénominateurs-, donc les quotients sont du second degré et de la forme
En faisant 11 = o dans la seconde fraction, on obtient
\diû J u-o
En ordonnant les deux termes de la première par rapport aux puissances décroissantes de i/, on trouve n^ h^ lî^ pour premier terme du quotient; ainsi
Les fonctions çp et ^|/ satisfont donc aux équations
