On donne X (^) , il faut déterminer X ( - j? « étant un

entier^ c'est l'opération inverse de la précédente.

Dans la formule par laquelle on exprime \ (nz) en fonction

de 1 (z) , remplaçons z par -t nous aurons l'équation à la résolution de laquelle se ramène la question proposée.

Considérons en premier lieu le cas où n est impair; désignons par p» la fonction donnée X ( ^ ) et par u l'inconnue ^ ( - ) • L'équation qui donne u est une équation du degré n^ (n'' 183),

j w («„., /^"'-' + an.-, «"'-^ ... -h ri)

ses racines sont les diverses valeurs que prend la fonction

X (__}i 2^^ |, dans laquelle les lettres p et q reçoivent

toutes les valeurs entières de o h n — i .

La somme des racines est égale à u -^^-^î et leur produit à

p» Mais nous avons tioiivé (n" 183)

il en résulte

formules qu'il est facile de démontrer directement.

188. Abel a démontré que l'équation (i) jouit de la propriété remarquable d'être résoluble algébriquement. Soient en eflbt a et ,5 deux racines quelconques de l'équation binôme

x" — I =r o ; posons

K«-hK^"^)^" ••■-■'•(^("-')^)-

\/z /z /' \n n ni' \n n n]

La fonction F a pour périodes w et w'; car si Ton augmente ^ de w, et que Ton multiplie chacun des ternies de la parenthèse par a, ce qui revient à multiplier la puissance z^'^""" par a" ou par l'unité, les termes d'une même ligne horizontale se permutent circulairemenl^ si Ion augmente z de o)', et si Ton multiplie par j3 , la permutation circulaire s'opère entre les termes d'une colonne verticale. La fonction F(::,a,|3) peut donc s'exprimer rationnellement au moyeu de ^ (z) et

de sa dérivée, el Fou a

L, M, N étant des fondions entières de X (z).

Chaque eouple a, jS de racines de l'équation binôme fournira une équation analogue à la précédente. Si l'on ajoute membre à membre, en groupant ensemble les termes dans lesquels p et q ont les mêmes valeurs , on voit que le multiplicateur de chaque groupe est nul , à l'exception de celui du premier groupe qui se réduit à n^. On aura donc pour X ( - j une expression de la forme suivante :

(3) hI]=-.

Le premier radical, celui qui correspond à la combinaison a = (3 = 1, en vertu de la relation (2), a pour valeur nA(z).

189. On peut calculer les polynômes L.2, Mg, Ng, L3 ,..., de la manière suivante.

Développons chacun des termes de la somme

aP p?

d'après la formule qui donne 1 (z -i- t.) , cette somme prend la forme

R et S désignant des fractions rationnelles composées d'une manière bien déterminée avec X f - U ^ ( - ) ' ^ ( ~~ ) ^^ ^^^

deux racines a, Ç de l'équation binôme. La puissance n'''"' de cette quantité est également connue et de même forme ; nous

DIVISIOIV. 225

la désignerons par

Imaginons actuellement que l'on calcule la fonction

cette fonction admet, comme la première, les périodes o) w' et l'on voit facilement qu'elle s'exprime ainsi :

Puisque les deux fonctions F et F, restent invariables quand on augmente z de w ou de w', il en est de même de leur somme et de leur produit

2R., Rj s;y

Ces deux nouvelles fonctions étant des fractions rationnelles de /(î) qui ne doivent pas changer quand on remplace

X ^-j par Tune quelconque des racines de l'équation (i ), ou

peut les exprimer par des fonctions symétriques des racines de

cette équation, et, par suite, en fonction rationnelle de ;i (z).

Il résulte de ce qui précède, gua l'on peut exprimer aîgê-

hriquement A ^îj en fonction de 1 (z), des racines /i'^'"" de r unité, de ^« ( - ) et d(; / ( — ) .