La formule par laquelle nous avons exprimé

renferme n- — i radicaux d'indice n. Si Ton combinait leurs valeurs de toutes les manières possibles, le nombre des combinaisons surpasserait le nombre des valeurs de l'inconnue 5 il v a donc un choix à faire parmi ces diverses combinaisons. Nous allons exposer une solution plus simple du problème de la division qui ne présente pas cet inconvénient.

226 LIVIIE V,

Posons

ptiis

a étant une des racines de l'équation binôme x" — i = o. La fonction i|; (-» a ] admet pour périodes w et o)'; car lorsque z

augmente de w, 9 (^^ ne change pas, et, si Ton augmente z

de co', en multipliant en même temps les termes de la parenllièse par a, les termes se permutent circulairemenl. La fonction ^ (-, a) peut donc s'exprimer rationnellement à l'aide de X (z) et de sa dérivée. Soit

^('i, a^ A + BV(z'

A, B, C étant des polynômes entiers en A (z), que Ton calculera ainsi qu'il a été expliqué au numéro précédent pour

F (s, a, (3). On a donc

Si a désigne une racine primitive de l'équation binôme X" — I — o, les n racines seront représentées par

chacune d'elles donnera une équation analogue à la précédente : si Ton ajoute ces équations membre à meuibre, les termes de

DivisibN.

chaque colonne verticale, à rexceplioii de la première, ayant une somme égale à zéro, il vient

L +v''^=^Têf^ 1

En vertu de la relation (2), le premier radical a pour valeur Le produit

ne change pas quand z augmente de 0/5 ceci revient à diviser le premier facteur par a"~f' et le second par a^^ ce produit a aussi pour période w ; on peut donc Texprimer en fonction rationnelle de "^{z) et de sa dérivée -, nous le représenterons par

H, Il en résulte ;

¥ji+Gj,V (z) P

V^ V C, ~ A,:hB.V(^) L C. J

On calcule les polynômes entiers Fp, Gp, Hp, de la même manière que les polynômes A, B , C. Quand on aura substitué à la place des divers radicaux leurs valeurs en fonction de

W ^ , lexpression de 9 I - 1 n aura plus que n ^ a-

leurs distinctes, ainsi que cela doit être.

t91. La fbnclioii 9 ( - ) étant déterminée, on cliercïie / f - j . A cet effet, on pose

a désignant toujours l'une des racines de l'équation binôme

X" — I = o. Les fonctions /(-'«) et cp ( - | ayant les

mêmes périodes w et «w', on peut exprimer la première au moyen de la seconde et de sa dérivée, et Von aura

a^h ^ c étant des polynômes entiers en 9 ( - J •

Si l'on développe chacun des termes X ( - -^-p- y la valeur de / ( -, c/. ) se présentera sous la forme

A, B, C étant des polynômes entiers en/ \-\ I-^ valeur de

^ j-,a ) ne change pas ([uand on remplace / ( - | par

\{ — ^ V "]'' c'est-à-dire lorsqu'on remplace M ~ ) P»i^ Func quelconque des n racines de l'équation

y II

dans laquelle, après avoir développé chaque terme et remarqué que ^'( - ) disparaît, on regarde ^ ( - ) comme rinconnue.

Le calcul de -^ i-, ex. j en fonction de 9 f - | s'efTectuera encore

de la même manière que celui de F [z, a, |S) en fonction de À (z) , en remplaçant l'équation (i) par l'équation (6), On aura ainsi

0 qp

En opérant de la même manière pour chacune des racines a<>, a% a-,..., a"~^ de l'équation binôme, et ajoutant les résultats , on obtient la formule

'»eH

Chacun des radicaux s'exprime par une puissance du pr mier ; en effet , le produit

admettant les deux périodes o) et no)^ comme la fonction g) 1 - I , s'exprimera rationnellement au moyen de la fonction

2^0 LlVllÈ V.

<]p I - 1 et de sa dérivée 5 nous le représenterons par — — '—l •

On déduit de là

De cette manière, à chaque valeur de tp (-J correspondront /^ valeurs de/ (-J5 comme la fonction 9 (-) a elle-même az valeurs, la fonction a ( - ) aura n'^ valeurs.

Voilà comment on procède quand le nombre n est impair ^ on peut même le supposer premier-, car si l'on a ^i = n' n" ^ il

sera préférable d'exprimer d'abord X l-\ au moyen de >. (z),

192. Considérons maintenant le cas où n est pair. Dans ce cas l'équation entre v et u renferme un radical du second de- j^ré (n*' 184); si on le fait disparaître, l'équation sera du degré 2 7i^ et ne renfermera que des puissances paires de l'inconnue.

Supposons d'abord n= 2. On a à résoudre l'équation

I — k-" u' ou

(i — k'u'Y (i— v'-) — (1 — 2 w^ H-/ on en déduit

Les doubles valeurs des trois radicaux donjient les huit valeurs de // qui ne dépendent que de quaîilités toutes connues.