CHAPITRE LV

MLLTIPLICATIOJV OL DIVISION DE LLNE.DES PÉRIODES DLNE FONCTION ELLIPTIQLE PAR UN NOMBRE ENTIER.

193. Le calcul de X («z) en fonction de X (z) revient à exprimer, au moyen de X (2), la fonction qui a pour périodes ellipti-

<[ues -5 — ? c est-à-dire à diviser par n les deux périodes de la

fonction donnée. De même, le' calcul de X i - j eu fonction de

X (z) revient à déterminer la fonction dont les périodes elliptiques sont wo), ntù' . Au lieu de diviser ou de multiplier simultanément les deux périodes par le nombre /z, on peut se proposer d'exprimer, à l'aide de X (z), la fonction qui aurait une période commune avec X(z), et pour autre période la période correspondante de X (z) divisée ou multipliée par n. En répétant deux fois de suite la même opération sur les deux périodes w, w' de X {^) on retrouvera, soit X(az^), soit

Nous désignerons par h^ le module de la fonction inconnue, et par ^1 son paramètre, de sorte que la fonction sera représentée par X (g'i-s, /fi). Nous nous occuperons d'abord de la division , en commençant par les cas les plus simples.

Dwision par deux.

194. Premier cas. Division de la première période. — • Le produit l[z)l{z^j\ admet les périodes -, 'o', il san-

imlc pour z = o et z = ~^ et devient inlîiii pour

w Z = — Qt

= 7H '' d'ailleurs le parallélogramme ( -5 w' ) ne renferme

pas d'autres zéros, ni d'autres infinis, que les précédents: on a donc

La constante A est donnée par la formul

i) = KB)^

on a ensuite

^, = A, ^ = An{z)-x[^z-^'^^y(^z + '^y(z + -^

Puisque

i-hv/i-/^ il en résulte

195. JReniai'quc. — La valevir de A ( ^ j , dont nous nou» sommes servis, s'obtient par la formule

On trouve ainsi les quatre valeurs deX ( rrU en désignant par fîet

fl' un système quelconque; de périodes elliptiques de la fonction 1 [z), c'est-à-dire en posant (n" 90)

il == (4/'/ -hi) w + 4<^w',

MULTIPLICATION ou DIVISIOIN DE LUNE DES PÉRIODES. 233

avec la condition

(4«-M)(2^-m) — 8^r = dli.

Ces quatre valeurs sont celles de

elles sont deux à deux égales et de signes contraires^ la piemièro et la troisième, ainsi que la seconde et la quatrième, ont pour

produit y Le calcul précédent comprend la division par deux

de la première période il de Tiin quelconque des systèmes de périodes elliptiques.