Second cas. Dà'ision de la seconde période
Partageons en deux parties égales , par une parallèle à
Fig. 3i. OA, le parallélogramme élémen-
ç taire OACB {fig. 3i) de la fonc-
] tion A (z,k) -^ OAC^B' sera le pa-
y, rallélogramme élémentaire de la
I / seconde fonction. A une valeur de
L — -]^ — ^(2» A) correspondent, dans le
parallélogramme OxACB, deux valeurs de 2, dont la somme est égale à -; pour ces deux valeurs
de z, la fonction 1 [g^z , K\) a une valeur unique. A une valeur de 1 [giZyJii) correspondent, dans le parallélogramme OACB, quatre valeurs de z , que Ton peut réunir par couples
Z et
Les valeurs de a(z,^), pour les valeurs de z d'un même couple, sont égales^ de plus les deux valeurs différentes de
/ (z, A) ont pour produit -• De ce qui précède il résulte que la
fonction ^ (^iZ,Ai) est une fotiction rationnelle du second degré en / (z, A),
La constante a est égale à zéro, puisque X (g-j 2, Ai) s'annule avec z. Pour que le produit des valeurs de X (^ > A) qui correspondent à une valeur quelconque de 1 [gi z ,kx) ^ soit -^ il faut
(jue l'on ait •
La
fonction 1
[gxz.h,] étant
imp;
aire, on a
ce
qui donne
la formule
l'on fait
Si
->rkV{2,)
vient
d'où
On a ensuite
Pour obtenir la valeur constante du second membre de cette dernière équation, on remplace z par j-> ce qui donne
Mais de la relation
MzUI^-f-^'^ ^,
on déduit, en y taisant z :=:. -, y
MULTIPLICATION Ot DIMSIOJN DE LUNE DES PÉUIODES. 235
d'ailleurs
Par conséquent,
Il en résulte
197. Si, après avoir divisé par 2 la première période w de la fonction X (2, A), on divise encore par 2 la seconde période w' de la nouvelle fonction, la troisième fonction aura
pour périodes —, — et Ton arrivera ainsi à X (22, A). On peut
vérifier aisément ce résultat.
Par la première transformation, on obtient
fei"?
La seconde donne
Dwisiou par un nombre impair quelconque.
198. Premier cas. Div^ision de la première période, — - Soient îl et H' deux périodes elliptiques quelconques de la fonction proposée ; le produit
X(z)x/s H-- jX (zH- 2- j . . . xfz-f-fw — i)- )
admet les périodes -5 Q! \ caries facteurs se permutent circulaiiement quand z augmente de - et chacun d'eux admet la
période H'. Le facteur A (z) devient nul pour ^ = o et infini poui' z = —^ le facteur 1 iz-\ j devient nul
pour z = — et infini pour z = 1 : d'ailleurs le parallé-
* 2n ^ in 1 ^
logramme des périodes --> D! ne renferme pas d'autres zéros, ni d'autres infinis du produit que les précédents j on a dont'
(3) li^g^z,k,):=.P.\[z)\[z-^^y^^\{z-\-{n-^'^^
En mettant à part le facteur ^ (z), et groupant deux à deux les facteurs de la forme
après La formule (7) du n*^ 171 , ce qui donne
on voit que la fonction X [g^z^h^) s'exprime par une fraction rationnelle impaire en ^ (^), du degré n. On obtient la constante A en faisant
d'où
Lune des quantités -7 ^- p — est enraie a 7- ou a -— siii-
vant que /? est de la forme /\n'-i-i ou do la forme ^n' — i, ot comme
il w
