La détermination complète des fonctions inconnues ne

dépend que de celle de X ( — j ou de X ( — j ; ces quantités sont

deux des racines de l'équation que Ton obtient en égalant à zéro l'expression de X (nz) en fonction de X (^), équation du degré ri^ — i , après la suppression du facteur '^ (z). Nous allons chercher le nombre des fonctions différentes obtenues en divisant l'une des périodes par Je nombre impair n.

Nous ne regarderons pas comme distinctes deux fonctions égales et de signes contraires, ni comme modules distincts deux modules égaux de signes contraires, ce qui nous permettra de remplacer les périodes w, w'de la fonction / (z) par les deux périodes II et Ûé' définies par les formules

pourvu que l'on ait

[qm -j-i) d — ^bc r= db i;

et, dans la question actuelle, nous appliquerons à ces périodes la dénomination de périodes ellipliques. De cette manière on peut dire que les fonctions fournies par la division de la seconde période sont les mêmes que celles qui proviennent de la division de la première période. En effet, les périodes elliptiques n, — î peuvent être remplacées par

a, zzzr(2a-hl)0-|-4j3-,

MULTIPLICATION OU DIVISION Di: LU Mi DES PÉRIODES. ^^Q

pourvu que l'on ait

(2aH-i)<î-487=:zti.

INlais si l'on prend d^n^ ce qui est permis, on obtient li;s périodes

[(2a-Hi) (2«-hi)/^ + 4 fc]o)-h4[(2a-{-i) On-hdp(l](^'

a\ = [{2.a-\-i)y-\-c]oi-\-{:^by-j-fi)(^',

qui résultent de la division par n de la première période d'un certain couple de périodes elliptiques de la fonction proposée. On verrait de même que les périodes elliptiques — » D!

peuvent être ramenées à la division par /z de la seconde période.