Supposons maintenant que l'on divise par n la première

période du couple fl, fl'. Les périodes -» Qf, de la nouvelle

fonction peuvent être remplacées par

pourvu que l'on ait

(oaH-l)^-4fi7i=:±I,

Remplaçons Ti et Q.^ par leurs valeurs dans les expressions de Hj et 12', , il vient

Soit n' le plus grand commun diviseur entre ia-\~i et w ; posons (2a-hi)= (in'-^i) 7i\ n = n'n". Prenons y = — 7i"c,

24o LIVRE V.

d = '1 a' -f- 1 ', la rciaiioii (sa-j-i) à — ^^y= ±i devient

{la'-^i) (2a-|-i)-l~4p/?''c = ±: I.

On clioisira a et|3 de manière à vérifier cette relation. D'après cela les valeurs de fli et de H', prennent la forme

q étant un entier quelconque. Lorsque q augmente d'un multiple de n" ^ la fonction ne change pas: il suffira donc de donner à cette variable les valeurs o , i , 2 , . . . , az'^ — 1 . D'ailleurs les 11!' fonctions ainsi obtenues sont différentes entre elles-, car il est impossible de ramener les périodes elliptiques de l'une à celles de l'autre.

Le même partage du nombre n donne encore ii! fonctions distinctes aux périodes

fonctions qui diffèrent des précédentes. Ainsi chaque partage en un produit de deux facteurs n' n" fournit 11' -\- n" fonctions distinctes. Un second partage en deux facteurs u^ n\ donnera encore //, -h n\ fonctions différentes.

De ce qui précède il résulte que :

1°. Sin est premier^ le nombre des fonctions est n -j-i 5 2". Si n est un nombre composé^ le nombre des fonction est égal à la somme N des diK'iseurs de n .

202. Remarque. — Soient n et /z'deux nombres entiers impairs et premiers entre eux, les fonctions que l'on obtient en divisant la première période de ^' (2 ) par n et la seconde par n' sont comprises dans celles que donne la division de la première période par le produit nn' . Si n et n' ont un plus grand commun diviseur d et que l'on pose n = n^ d, n' =: /?', r/, pour diviser les deux périodes respectivement par n et n' ^ on cher-^