MULTIPLICATION OU DIVISION DE L LNE DES PÉRIODES. 24 I

chera d'abord X [tlz^h), puis on divisera par //i«', la première période de cette fonction.

203. D'après ce que nous avons dit au n" 91, quand deux fonctions elliptiques ont même module, les systèmes de périodes elliptiques se correspondent deux à deux de manière à présenter le même rapport. On voit aisément que les fonctions dont nous venons de parler ne jouissent pas de cette propriété et qu'elles ont, par conséquent, des modules différents. Ainsi le module ki a autant de valeurs qu'il y a de fonctions différentes. L'équation entre les modules k et ki jouit de diverses propriétés, parmi lesquelles nous indiquerons les suivantes, données par Jacobi.

L'équation modulaire est symétrique par rapporta k etAj. En effet, si, après avoir divisé par n la première période de la première fonction, on divise par 7i la seconde période de la deuxième fonction , on revient au module primitif; c'est-àdire que, si l'équation est vérifiée par k ■■= o:. A, = |3, elle doit l'être également par k = ^, hi = a..

204. La fonction elliptique, qui a le module complémentaire A' et pour paramètre l'unité, admet les périodes elliptiques -7- et— (n" 107); de même la fonction elliptique dont le module est A', et le paramètre ^x •> admet les périodes elliptiques

— et — : c'est-à-dire que le module A' correspond à la divi-

sion par n de la seconde période de la première fonction. La relation entre A' et A', est la même que celle entre k et ki ; donc l'équation modulaire ne change pas lorsqu'on y remplace A et A", respectivement par \' i — A- et Vi — ^i-

La fonction X ( A^;, - j a pour périodes elliptiques w — 2 0)' et

w'; la fonction X (^j Ai z , — ) a pour périodes elliptiques le sys-

teme 2 w et w qui est équivalent a et w. L equa-

tion modulaire ne doit pas changer quand on y remplace h par \ et h par^.

Lorsque le module k est réel et moindre que l'unité, si l'on choisit les périodes elliptiques indiquées au n^ 109, et si l'on prend leur rapport p, on voit que, quand on divise par n l'une ou l'autre des deux périodes w , w' , le nouveau module est réel ; il diminue si l'on divise la première période, il augmente au contraire si l'on divise la seconde. Quand n est un nombre composé , si on le partage en deux facteurs n! et n" premiers entre eux, la division des périodes respectivement par les nombres n! et n" donne également une valeur réelle de /fj.

Multiplication par u?i nombre entier quelconque.

205. C'est l'opération inverse de la précédente. Si le multiplicateur est le nombre 2, la fonction inconnue s'obtient par la résolution d'une équation bi-carrée (n° 194), ou d'une équation du second degré (n^ 196), suivant qu'il s'agit de la première ou de la seconde période. Si le multiplicateur est un nombre impair n , la fonction inconnue est racine d'une équation du degré n (n^ 198). Dans le premier cas le module s'exprime en fonction de h^ par les formules des n''^ 194 et 196 5 dans le second cas, il dépend d'une équation dont le degré est la somme des diviseurs de n.

Lorsque n est impair, l'équation du degré tz, qui donne h fonction inconnvie, est résoluble algébriquement. La simplification indiquée au n" 190, dans la recherche de ^ ( - , /: | en

fonction de ^(2, A), consiste à multiplier d'abord l'une des périodes par n , puis l'autre.