CHAPITRE V
206. Le problème que Ton se propose de résoudre est le suivant :
Trouver toutes les fonctions rationnelles j de la variable x qui satisfont à l'équation différentielle
f(r dx
La constante k est donnée ^ il faut déterminer les constantes s, et Al en même temps que la fonction y. Pour un couple de valeurs attribuées arbitrairement aux deux constantes gi , /f, , l'équation différentielle n'a pas, en général, de solution de l'espèce considérée, c'est-à-dire dans laquelle j s'exprime rationnellement enx.
^^^i'^Jo ia valeur de j qui correspond à x=: o ; concevons que l'on exprime les deux variables y et x en fonction d'une variable auxiliaire z , en posant
. , <^j dx
( I , = = dz;
d'où
^ r^' dx Çy ^v
X sj(x-x^){i-~k^x^) ~ X s^^{^-y''){i-Kr)
Désignons par a l'une des valeurs de l'intégrale
on aura aussi
dy
et par suite
Il est d'ailleurs évident que deux fonctions elliptiques x etj, définies par les équations (2 ), satisfont à l'équation (i) quelles que soient les constantes g^ et h^. La question revient donc à la suivante : Déterminer toutes les fonctions
qui s'expriment rationnellement par une fonction elliptique donnée
xz=\[z, k),
207. Supposons que les valeurs des constantes ^1, h^y a soient telles que l'on ait
P et Q étant des fonctions entières de x. Désignons par w et 0/ un couple de périodes elliptiques de la fonction x ^ par Wi , w'^ un couple de périodes elliptiques de la fonction j^. Quand z augmente àe ta, x ne change pas, y ne doit pas changer non plus, ce qui exige que w soit égal à une somme de multiples de Wi et w', ^ le même raisonnement s'applique à aJ . Ainsi , il faut d'abord que l'on ait
... ( co = />w, + '?«;,
\ w' = p' w, -\- q My, OU "
1 Wl
1 , — p'oi-hp^' I
en désignant pour abréger par N le nombre entier
Mpq'-vp')-
Lorsque les conditions (4) sont satisfaites, la fonction y s'exprime rationnellement au moyen de x et de sa dérivée puisqu'elle admet les périodes w et (sJ . Il faut trouver la con dition pour que la dérivée n'entre pas dans cette expression
Le second membre de l'équation (3) ne change pas, lors
TRÂNSFORMÀTIOJN DES FONCTIONS ELLIPÏIQLES. 245
cjuoii remplace z par z, il faut donc que Ton ait
et , par conséquent ,
OU, en tenant compte des relations (4),
(2//^-f- ï — p)^h + (27'' — y)to',
La condition (6) est suffisante (n° 80)-, elle exprime qu'à une même valeur dey correspondent, dans chaque parallélogramme élémentaire, deux valeurs de z ayant une somme équivalente
Degré de la transformation,
208. Commençons par évaluer le degré de la fonction y par rapport à x.
Considérons d'abord le cas où p et ^ sont premiers entre eux j prenons deux nombres r et 5 assujettis à la condition
ps — ^r = zt 1 .
La comparaison des relations
P^ — <7/?' = db N , ps — qr = diz i donne
p'z=^r-hpt,
t étant un nombre entier.
Le parallélogramme défini par les formules
est un parallélogramme élémentaire de la fonction j' aux périodes elliptiques Wi, w', • mais ces deux périodes nouvelles w,
fSi'^ ne constituent pas en général un système de périodes elliptiques de la fonction j^. Puisque
Nw" + ^w,
la fonction x aux périodes elliptiques w, o)' admet aussi les périodes elliptiques
Les deux parallélogrammes élémentaires (w, o/') et (oo, Nw^^) Fig. 32. ont un côté commun w, le
second côté du deuxième est égal à N fois le second côté du premier. A une même valeur de y correspondent deux valeurs de z dans chaque parallélogramme élémentaire et, par suite, 2N dans le grand parallélogramme. D'après la relation (6), à laquelle doit satisfaire la
constante a, la somme des deux valeurs de z étant équivalente
à -î les points qui les représentent sont placés comme l'indique la figure, de telle sorte que les droites Oa, Cyb^^ soient égales et parallèles. Chacun des couples (a, è„}, (rtj, ^„i)vî
(cin-\ 5 ^1) donne une somme égale à Nw'^ H — \ il en résulte
(|u'à une valeur de y correspondent seulement N valeurs de x, c'est-à-dire que / est un fraction rationnelle en x du degré N.
209. Si p et q ne sont pas premiers entre eux, soit d leur plus grand commun diviseur, p^ et q^ les quotients àe p el q par d. On cherche, comme dans le cas précédent, deux entiers r et s par la condition p^s — </, / .-= zh i, et l'on pose
d'où
La fonction )^ admet le parallélogramme élémenuirc
- =r ^>», w, H- r/i w , , w = rw^ -+- 5 w, ,
et la fonction x les périodes elliptiques
A une même valeur àej correspondent dans chaque parallélogramme élémentaire deux valeurs de z ayant une somme équivalente à — Si d est impair, cette somme est équivalente à
w . w w d — I w -^ -tw
—ri puisque - = — - -\ Y Dans ce cas nous appellerons
2 m 2 2 rf 2 2m
u la fonction aux périodes elliptiques -? Ni o)". Le parallélogramme relatif à la fonction u contient 2 Ni valeurs de z que l'on pourra grouper deux à deux, comme précédemment, de manière que chaque couple présente une somme égale à
— : -h Ni o)'': d'où l'on conclut que r est une fonction rationnelle en u du degré Ni. Mais la fonction u peut êlre considérée comme ayant les périodes elliptiques - et Ni w'' -\- t--,
c'esl-à-dire - et w'^ on l'obtiendra en divisant par d la première période de la fonction x\ c'est donc une fonction rationnelle en X du degré d. Il en résulte que y est une fonction rationnelle en X du degré Ni J ou N.
Si d est pair, la somme - équivaut à zéro, puisque - = - -: y est donc une fonction paire en x. Appelons u une fonction paire admettant les périodes -> N, w^^ Dans le parallélogramme relatif à w, à une même valeur de y correspondent 2 Ni valeurs de z que l'on groupe deux à deux de manière que
chaque couple ait une somme égale à ~ + N, w'^j on en conclut que y est une fonction rationnelle en u du degré N,. Mais
la fonction u peut être considérée comme ayant le parallélogramme élémentaire ( -» fù' j: dans chacun d'eux, à une môme valeur de u correspondent deux valeurs de z dont la somme est nulle 5 dans le parallélogramme (-> w j relatif à x^^ se trouvent d valeurs de z ayant deux à deux une somme égale à — H- w', donc u est une fonction rationnelle en x du deerré-
et, par suite, y est une fonction paire en x du degré N. Ainsi, dans tous les cas, le degré de la jonction y par rapport à x est égal au déterminant N = ±: [pq' — qp']-
Transjormaiion du premier degré.
Nous allons chercher d'abord toutes les transformations du premier degré; on les obtient en supposant le déterminant N égal à il= I. Il y a plusieurs cas à considérer.
210. Premier cas : p impair, q pair. — D'après la formule (7), on peut donner à a l'une des quatre valeurs
w, tù w, -h w' ^. p ,, 1 r »•
o, — î — ^> -' bi 1 on appelle j^ la lonction qui correspond à a = o, les diverses valeurs dey seront ±^1, it 7 — \ calculons la fonction /i = X [g^ 2, h^). Les fonctions y^ et x ont les mêmes zéros et les mêmes infinis; donc le rapport —
est une constante A. Pour avoir la valeur de la constante A, dans la relation y^ = Ax, faisons
c'est-à-dir
U en résulte
A = 1, ou A ^= A.
On obtient le module Ai en faisant
on trouve , lorsque A = i , ^\ z=zk, et lorsque A = A , Al = -' On a ensuite soit ^i= i, soit g^ = h. Les solu-
tions de ce premier cas sont donc
(8) >î-, = /Ç-, ^,= 1, jr = ±.r, y=±-^y et
211. Second cas : p pair, q impair. — La valeur de a est de l'une des formes di-^ dz y-j appelons y^ la fonction qui
correspond à a = y 4- y-*, les diverses valeurs de y seront,
comme tout à l'heure, dz^i, dz •
Soit
En faisant 2 = 0, on a
Si Ton remplace z par — i-^=— -h^, xse change en — a:
X et r en ^ — ; il en résulte
et, par suite,
Ces trois relations se réduisent à deux, et la première donne pour m la valeur déjà obtenue. Le premier membre s'annule pour
mais on a
W|-}-W, , w , w' Wi -f- w' , w'
suivant que q' est pair ou impair-, dans le premier cas
— = -= et dans le second — = --• Supposons d'abord û' « sfk fi ^f, ^^ ^
pair,
on aura
V/'^- . Il
Pour obtenir le module /r,, nous ferons
d'où
I H- -rr -.
Prenant les dérivées et faisant 2 = o, on a
z=: Il — mn' —. 2 — =
TllAUSFORMATIOJS DES FOKCTIOJVS ELLIPTIQUES. 2D I
d'où
Les résultats correspondant au cas où (j' est impair se déduisent des précédents par le changement de k eu — k^ Ainsi les formules pour le second cas sont ^
lO) y =1 zn. = =:» y rz: it 7=. -r:-
et
I ( i-^i sjk
f^-. \ . —isjl i ' 2
, . , I -f- ^V^ I 4- '-^ V'^A" 1 ï — ^ V^A" ï — ijr J7i
(il) X = li: ^ ^5 j = zz: — ^ — '— —^'
i — i'sJA- 1 — ix \/k i -{-■ i s/J- i -\- i.v \J A
Le cas où p et q sont impairs dotnie les mêmes formules que le précédent.
A cause des deux valeurs du radical s/k , on voit que le nombre total des valeurs de k] est 6, et qu'à chaque valeur de k] correspondent deux valeurs distinctes de ^-.
Transformations du second degré.
212. On trouverait avec la même facilité les transformations du second degré 5 mais nous verrons par la suite qu'on les obtient en combinant deux transformations particulières du second ordre avec celles du premier. C'est pourquoi nous nous bornerons à considérer le cas particulier suivant qui nous sera utile.
Soit
La fonction j est une fonction paire du second degré; posons
En faisant ^ = o, on obtient m =: i. Changeons z en
-- -\- z =z }-^ la formule devient
Identifiant avec la valeur précédente, il vient
kx'
Pour 5; = — !■
I /?-zti , Xqzi
