. • ;io er> s

ki /f | I A zt 1

Enfin, en égalant les coefficients des puissances de ^^, on obtient

Transformation d'un degré quelconque quand y s'annule

auec X.

213. Nous allons indiquer maintenant comment on détermine en général la fonction y. Nous examinerons d'abord le cas où la fonction y s'annule avec x.

Dans ce cas, a est nulle ou de la forme m — -h « w'. : l'é-

quation (7) montre que p est impair, q pair, et l'on a

nous calculerons A (^^ z, A"i).

Supposons d'abord p et q premiers entre eux*, si l'on compare la fonction y k la. fonction qui admet les périodes ellip-

tiques (u^'SOS),

w n: ^ Wi -h ^w', , w" = r w, -f- J Wi ,

on voit que ces deux fondions, ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont clans leur rapport constant^ la première est égale à la seconde multipliée par l'une des constantes

rt i,ziz-- Mais la fonction aux périodes elliptiques w, tsi"

s'obtient en divisant par N la seconde période de la fonction X = \ (2, A). SiNest impair, on pourra diviser par N la première période au lieu de la seconde. Si N = 2"N', on pourra "^ diviser la première période par IN', puis la seconde îi fois de suite par 2.

Si p et q ne sont pas premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur <i est impair*, on divisera d'abord par d la première période w, puis on opérera comme précédemment (n" 209).

La valeur dey, pour z ^=—^^ est nulle ou infinie suivant que

q' est pair ou impair-, donc le degré du polynôme Q sera supérieur ou inférieur à celui du polynôme P, suivant que les nombres q' et jN seront pairs ou impairs. Il faut remarquer en outre que la valeur àe y est égale au produit de x par une fonction rationnelle de x^.

Transformation rTiin degré quelconque quand y ne s^ annule pas av^ec x.

Ce cas se subdivise en quatre, suivant que p et q sont pairs ou impairs.