Premier cas : p impair^ q pair. — La relation (7) donne

w Wi H- w', .1 P • 11 1 .

a =: -^ ou a = ; car il laut rejeter les hypothèses

ft r= o , a = — qui donneraient y = o pour j? r= o. La fonc-

tion Y est ésjale à ± ;— , c'est une fraction du premier

degré de l'une des fonctions qui s'annulent avec x.

215. Second cas: /; paii\ q impair. — Considérons uno fonction auxiliaire y^ s'annulant avec x et admettant les périodes elliptiques w.^, w', déterminées par les formules

dans lesquelles les nombres entiers a^ by d ^ //, vérifient la relation ah' — ho! = zh i . On aura

w z= [ap 4- «' <7 ) &>2 -f- (bp -4- b' q) m\ , o>' rr: (aj/ + a' q' ) W2 -Jr[bp' -^b' q' ) oi\ , (np -f- «'7) (V -f- b'q') - (bq -h b'q) {ap' -f- «'7') = (Pq' — 9P') [ab'—ba') = P^.

Si l'on prend, ce qui est permis, a == h = a'= i et è'= 2, la fonction j^i est une fonction rationnelle en x du degré N;

on voit que la somme -des deux valeurs de z qui dans chaque parallélogramme correspondent à une même valeur de y est équivalente à — » et par suite que y est une fonction rationnelle du premier degré en yi. Ainsi j>^ est une fraction du premier degré de l'une des fonctions qui s'évanouissent avec x.