I -h kx

Xy = ; .

1 — X-x' On a ensuite

Le déterminant

est égal a — Posons maintenant

Z4-j=z', d'où .r, =z: /(^jZ', /,);

la somme des deux valeurs de ^, qui, dans chaque parallélogramme élémenlaire, correspondent à une même valeur der étant équivalente à o, la somme des deux valeurs de z' est équivalente à -^; il en résulte que y est une fraction rationnelle

N en x^ du degré — • Si p' et q' ne sont pas tous deux pairs, cette

fraction se déterminera comme nous l'avons dit; mais si p' et q' contiennent le facteur 2, on répétera une seconde fois la même réduction. Cette seconde transformation ramène le module primitif A, tandis que le paramètre acquiert la valeur 2. et la nouvelle fonction Xg a pour valeur

I \ i — ik^ x^ -\- k'^x^

("+rO

218. Le résultat de deux transformations successives, l'une du degré n , l'autre du degré ji' , s'obtiendrait par une seule transformation de l'ordre ^ = jin' . Réciproquement, toute transformation de l'ordre N = im' peut s'obtenir par deux transformations successives, la première du degré //, la seconde du degré n' . Cette propositiou est évidente lorsque la fonction r s évanouit avec x, puisqu'alors on obtient la fonction en divisant les périodes de x par deux nombres dont 1<^ produit est N

et que Ton peut remplacer chaque division par deux divisions successives 5 il est facile de l'étendre à tous les cas.

En appliquant au cas où le déterminant est égal à 2 ce que nous avons dit dans les n°^ 213 et suivants, on voit que les transformations du second degré s'obtiennent en combinant, soit la formule (2) du n^ 196 pour la division de la seconde période par deux, soit la formule (12) du n" 212, avec les formules de transformation du premier degré.

219. Legendre s'était proposé le problème de la transformation comme moyen de simplifier le calcul de la valeur approchée de l'intégrale définie

dans laquelle le module h a une valeur positive inférieure à l'unité. On obtient rapidement la valeur approchée de z^ lorsque /^ est voisin de zéro ou de un-, il s'agissait de ramener l'intégrale à l'un des cas précédents, par un changement de variable. Dans la première transformation indiquée par Le- <yendre, la fonction y est une fonction irrationnelle de x; elle correspond à la division par 2 de la première période de la fonction x.