CHAPITRE VI

uemarques sur la transformation.

Remarques sur la divisioii de la première période.

220. Nous avons donné, n°^ 198 et suivants, les formules indispensables pour la division de Tune des périodes d'une fonction elliptique par vin nombre impair Ji, A ers formules, on en peut ajouter beaucoup d'autres utiles dans les applications.

Supposons d'abord ([u'il s'agisse de la division de la prc-

IIEMAUQLES Sun LÀ THA^SFORMATïON. ^5^

niière période ; on a trouvé

(i) >.(^-.,,/,) = AX(2)x(^z-f-^j )7.-f-2?V..). ('z4-(«-.)?y

(3) ^^= ^' UJ' r^/'"'V~l~ n)

221. Remarque I. — On démontre aisément que la fwiccionM((^i2,Ai )'Pt leproduit

xDin les mêmes périodes élémentaires — et f- H', les mêmes

n in

\ zéros et les mêmes infinis; donc d'où, en faisant z = o ,

On a de nie

même

258 LfVKE V.

En faisant ^ = V dans la formvile (7), il vient

^ , /w f2\ [a a\ /w « — 1 fl\

el, en se servant de la relation v ( -^ — ^ \ v (z)=/i'(n" 10! ),

La division membre à membre des formules (1) el (5) donne

La comparaison des formules (8) et (9) , puis des formules (2), (3), (4) conduit aux relations

('») ''tV'l'î!) ■''("'?-) "/SVr--

222. Reaiauque il — Au lieu d'exprimer les fonctions 1 (giz^ki)^ fji(g-i^,/r, ),..., paï' des produits, on peut les exprimer par des sommes.

Si, dans la formule (i), on groupe le facteur X [ z -j j avec le

facteur X Iz -h {n — 0 "^ ) 4"^ est égal à 1 iz — — ], puis les

REMARQUES SUR LA TRANSFORMATION. a^p

facteurs X ( z -h 2 — ^ 7. (^ z -{- {n — 2)— J,..., on a

liîLwSV

Il en résulte d'abord, d'après les relations (4) et (11),