REMARQUES SUR LA TRANSFORMATION

La première et la troisième s'appliquent lorsque n est de la forme 4 'i' -h i , les deux autres quand ji est de la forme 4 f^' — i • En remplaçant z par — z, on obtient les fonctions

on en déduit les valeurs de a(giZ^ /.i) et de "^{giZ-, ^i) oble-^ nues d'une -autre manière.

Remarques sur la division île la seconde période.

224. Les formules pour la division de la seconde période sont semblables aux précédentes; on les obtient en remplaçant dans celles-ci, dont nous désignerons l'ensemble par (5), Q. par

n', et, en outre, dans la formule ('-*) A par ( — i ) - A , et

dans la formule (3) ^, par ( — 1) - ^15 soit [s') l'ensemble des nouvelles formules. L'omission de ces deux derniers changements donnerait la fonction inconnue changée de signe lorsque n est de la forme 4 '^' — i- En remplaçant dans les formules [s) n par ziz // n + (i zp «) H', ce qui est permis, les signes supérieurs correspondant au cas où n est de la forme 4 «'-h I et les signes inférieurs au cas où « est de la forme 4 'î' — i» on obtient, au signe près des deux constantes A et ^1, les formules relatives à la division de la seconde période. Ainsi, abstraction faite du signe, la division de la seconde période par n donne les mêmes fonctions que la division de la première période par le même nombre, ce qui s'accorde avec la remarque du n° 200.

225. Dans les formules (5), H désigne la première période de l'un des couples de périodes elliptiques de la fonction A (^jA); c'est-à-dire que l'on a

n =r (4rt -H I ) w -h 4 ^ *^'>

4« -h I et 4 ^ étant premiers entre eux. Mais ces formules ne changent pas lorsqu'on augmente H d'un multiple àe thù ou fie n w'; or on peut prendre t et // ainsi que a et b, de manière

^64 LïvRE r.

que l'on ait

p et q étant des nombres quelconques n'ayant pas un même facteur commun avec n. Dans ce qui suit nous supposerons que n désigne la quantité /;a)4-</w% et qu'en outre q est pair.

Transformations complémentaires .

226. On sait que la fonction au module //, complément de hy a pour périodes (n° 107)

On en déduit

en désignant par Hi une période analogue à CL servant pour la transformation de la fonction au module complémentaire.

Si dans les formules (.?) on change z en izj Q. en zili, et que Ton remplace les fonctions

'^{gi^'-Zyk,), ii(gJz,A-,), ^j(gtiz,A^), a(giiz,/:-t)

par leurs valeurs à l'aide des fonctions

^(S'tS»^-'.)» P-(g^^y^\)y ^{g^z,lc\), T3{g,Z,k\),

dans lesquelles le paramètre g^ n*a pas changé, tandis que le module /ti est remplacé par son complément (n° 106) 5 si en même temps on exprime les fonctions

à l'aide des fonctions

REMARQUKS SUR LA TRÀ»SFORM ATlOr* . ^65

et les constantes

à l'aide des nouvelles constantes

on déduira ainsi des formules qui servent à passer du module A au module Ai celles qui servent à passer du module A^ complément de A au module A^ complément de Ai.

Les formules déduites de la série (s) seront les analogues de celles de la série (5'), et réciproquement.

Transformations suppléinen taires .

-27. Si, après avoir divisé par n la première période Q. de la fonction 1 (2, A), on divise également par n la deuxième période D! de la seconde fonction, on revient, aiusi que nous l'avons observé, au module primitif et le résultat est 1 [nz, k). Ce sont ces deux transformations successives que Jacobi appelle transformations supplémentaires ; leur ensemble équivaut à la multiplicalion de l'argument z. On a donc

A* ipgi 5 A

Mais on sait que

par conséquent le diviseur du dernier facteur a pour valeur

OU verrait de même que le précédent est

et ainsi de suite. Si l'on change l'ordre des diviseurs, la valeur de X (/i^:, A) prendra la forme suivante

(28) l(nz,i)=-l(g,z,i.) JJ

^' ,= , , ^-->Mf.^.A,

Pour fixer les idées ^ supposons le module k réel et moindre que l'unité, la fonction X [z, A) a pour l'un de ses couples de périodes elliptiques

, r du , r du

les intégrales étant rectilignes. Admettons que le paramètre gi et le module ki se rapportent à la division par n de la période w; d'après l'équation (4), quand 7? devient très-grand, kl tend vers zéro; par conséquent la limite du produit

w / /" du

est égale à 27:, celle de — est égale — ; enfin celle de > I — a, /, j î quand on suppose que a. reste fixe, est sin — a*

Si dans la formule (24) on fait z =-i t restant constant lorsque 71 augmente indéfiniment, il vient

sin^ sin^

. ,^ , ^ w . 2 7rÇ sin* 2 TTC sin*47rp

>({;,/-}=: — sm- — ^.~ Z j:....

2 7T w . 2 ttÇ . , 2 7r<; sin^ sin^

Sin' 7rp Sin'OTrp