U = TU

Le numérateur ne s'annulant pas pour z' = o, on peut assigner un nombre r' tel que, si le module de z' est égal ou inférieur à r', le module de Af z'-h Aa^'^H- . . . + A,„z""soit moindre que celui de Ao; le numérateur ne s'annulera donc pour aucune valeur dé z' située à l'intérieur du cercle décrit du point 0' comme centre avec le rayon r' dans le second plan tangent à la sphère (n** 17), et par conséquent le polynôme proposé n'aura aucune racine en dehors du cercle décrit du point 0 comme

centre avec le rayon r — — dans le premier plan tangent. Concevons

maintenant que le point z décrive la circonférence r dans le sens positif, ou que le point z' décrive la circonférence r' dans le sens négatif, l'argument du numérateur ne changeant pas, et celui de ^'variant de — 27:, l'argument de u éprouvera une variation égale k 2n x m; donc le polynôme a m racines.

En désignant par a^ le module de Ao et par a le plus grand des modules des coefficients suivants, on peut prendre r' = — ^— -, il en résulte que le nombre r = -^ — — i + — est une limite supérieure des modules des racines.

Manière de déterminer le nombre des racines d'un polynôme entier comprises dans un contour donné.

24. D'après le théorème II, pour connaître le nombre des racines de l'équation f(z) = o comprises dans un contour donné C, qui ne passe par aucune des racines, il suffit de déterminer la variation qu'éprouve l'argument de/(z), quand le point s décrit ce contour dans le sens positif, et de diviser cette variation par 271. Supposons que l'on ait, le long de ce contour, /{z) = X + «Y, X et Y étant deux fonctions réelles d'une même variable réelle t. Soient Xo,Yo les valeurs de X et Y pour t = ^o. «0 le point correspondant de la courbe et 90 l'argument de /{z); cet argument <po est l'un des angles qui répondent à

la tangente ^^ si X» est positif, on peut prendre pour <po un angle com-

pris entre — - et -• Faisons varier t de telle sorte que le contour C

soit parcouru dans le sens positif. Tant que ^ variant à partir de ?„» n'atteint pas une valeur pour laquelle X s'annule et change de signe, l'argument variable reste toujours compris entre les mêmes limites

et -• Mais si le quotient ^ devient infini, et passe d'une valeur positive

à une valeur négative, 9 croît au delà de -•, si, au contraire, le quotient passe d'une valeur négative à une valeur positive, 9 décroît au-dessous

de — -. Donc, en appelant ^ l'arc compris entre et - qui répond

à la nouvelle valeur de la tangente, on aura

£, étant égal à -h i dans le premier cas et à — i dans le second cas. Cette formule s'appliquera jusqu'à ce que X en s'annulant change de signe une seconde fois. A partir de cette nouvelle valeur de /, on aura

i.tr-

£2 étant encore égal à ± i, suivant que le quotient ^ passe d'une valeur

positive à une valeur négative, ou inversement, et ^ désignant toujours

l'arc compris entre et H — i qui répond à la valeur de la tan-

gente y' Après un troisième changement de signe de X, on aura

cpr=:e,7:-Fej7:H-ej7:-l- tp,

et ainsi de suite. Par conséquent, si X a changé de signe m fois avant que le point z en suivant le contour C arrive dans le voisinage de «o» on aura pour un pareil point

<p — e, r 4- 62 7: -f- . . . + Êm r -h 4*'

Mais lorsque z atteint a^, l'angle ^ devient égal à ^o» et la variation totale de l'argument est