CHAPITRE IL

Nombre des racines d'un polynôme entier,

19. Lemme I. — Lorsqu'une fonction est méromorphe dans une partie du plan, la variation qu'éprouve l'argument de la fonction, quand la variable décrit une ligne ad {fg. 9) située dans cette partie du plan, et ne

Fig- 9-

passant par aucune racine m par aucun pôle, est égale à la somme des variations qu'il éprouve sur les différentes portions ab, bc, cd de cette ligne y et cela quel que soit celui des arguments possibles que Von prenne au commencement de chacun des arcs.

20. Lemme II. — lorsqu'une fonction est méromorphe dans une cer^ taine étendue, si Von divise cette aire en plusieurs parties par des transversales, la variation qu éprouve V argument de la fonction, quand la variable décrit le contour de l'aire totale dans le sens positif, est égale à la somme des variations quil éprouve, quand la variable décrit le contour de chacune des aires partielles dans le sens positif .

Considérons l'aire enveloppée par la courbe abcd [fîg. lo), et qui est divisée en quatre parties par des transversales. Nous supposons qu'aucune des lignes ne passe par une racine ni par un pôle, et que chaque contour est parcouru dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sens tel

Fig. 10.

qu'un observateur ait toujours à sa gauche l'aire enveloppée par le contour. La variation de l'argument de la fonction suivant le contour abea est égale à la somme des variations suivant les arcs ab^ be, ea; de même la variation de l'argument suivant le contour bceb est égale à la somme des variations suivant les arcs bc, ce, eb, et ainsi de suite. Mais chacune des transversales ae, be, ce, de est parcourue deux fois dans des sens opposés, ce qui donne des variations égales et de signes contraires; il reste donc dans la somme les variations relatives aux arcs ab, bc, cd, da, c'est-à-dire la variation relative au contour entier abcda.

Fig. II.

Fig. la.

21. Théorème I. — Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan ne comprenant aucune racine, la variation de V argument de la fonction sur le contour de l'aire est nulle.

Soit Zq une valeur de la variable z à laquelle correspond pour la fonction une valeur u^ différente de zéro. La fonction étant continue, on peut assigner un nombre p tel que, si le module de z — s,, est égal ou inférieur à p, le module de u — u^ ou la distance Mo u soit moindre que le module de Mq ou la distance Ou^. D'après cela, si le point z décrit une courbe fermée (y%. ii) comprise dans le cercle décrit du point Zq comme centre avec un rayon égal à /s, le point u décrira une courbe fermée (fy' 12) située dans le cercle décrit du point u^ comme centre avec un rayon égal à la distance Omq; l'argument de u reprendra donc sa valeur primitive.

Supposons maintenant que le point z décrive le contour d'une aire ne comprenant aucune racine. On pourra partager cette aire en parties assez petites {Jig. i3) pour que chacune d'elles jouisse de la propriété précédente. La variation de l'argument de la fonction étant nulle sur le contour de chaque aire partielle, elle est nulle aussi sur le contour de l'aire totale, d'après le lemme IL

Fij. i3. Fig. 14.

22. Théorèbie il — La variation de r argument d'un polynôme entier, suivant le contour d'une aire parcourue dans le sens positif, est égale au produit de 27: par le nombre des racines comprises dans cette aire,

(Cauchy.)

Soient a,, a,,..., a„ (J^g' ï4) les racines situées dans l'aire plane considérée; on a

f{z) = {z — a,){z — a,)...{z — a„)o{z); l'argument du polynôme /(z) est égal à la somme des arguments des

facteurs; quand le point z décrit la courbe fermée, dans le sens positif, l'argument de chacun des facteurs s — <2,, z — a^, . . . , z — an augmente de 27r; le polynôme (^(z) n'ayant aucune racine à l'intérieur de la courbe, son argument reprend sa valeur primitive; donc l'argument de f{z) augmente de 27: x n. Ceci ne suppose pas que toutes les racines soient distinctes.

23. Corollaire. — Un polynôme entier du degré m a m racines. Soit

M = Ao 2'" 4- A, z'" -' -i- . . . + A;„

le polynôme proposé; si l'on pose ce polynôme devient

Ao+A, z' + . . .4- A„2''«