e, -+-£,-+-.. .-+-Êm); on a donc
n étant le nombre des racines comprises dans le contour C. Soient m' le nombre des termes de la parenthèse dont la valeur est 4- 1 , m" le nombre des termes dont la valeur est — i; la formule s'écrit
Lorsque la valeur initiale Xq de X est négative, on peut répéter le même raisonnement en prenant pour (po et 4* des angles compris entre et 3^.
25. La somme s, + £2+ • • • H- £p> qui correspond à la variation de t entre les limites t^ et ^^ est ce que Cauchy nomme indice de la fonc-
tion ^ entre les limites t^ et t, , et il représente cet indice par la notation
Si l'on partage une ligne quelconque en plusieurs parties, l'indice du
quotient ^ relatif à cette ligne est évidemment égal à la somme des indices du même quotient pour chacune des parties de la ligne.
On calcule aisément l'indice relatif à une ligne donnée, lorsque le long de cette ligne X et Y sont des fonctions entières de la variable /, à l'aide des remarques suivantes (Cauchy, Journal de V École Polytechnique» 25® Cahier).
1° Si le degré de Y surpasse celui de X, en effectuant la division jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste Y, de degré moindre que X, on a
Q étant une fonction entière. Il est clair que les quotients v et r=T^ de- '<A«'^^^
viennent infinis en même temps et ont des valeurs de même signe pour V^
les valeurs de la variable voisines de celles qui les rendent infinis; il ^j>j en résulte
^IX'k)
2° Considérons les deux quotients inverses ^' v? et leurs indices I, I,,
quand / varie de /« à /, . Chaque fois que l'une des fonctions X, X s'annule et change de signe, l'un des deux quotients devient infini et sou indice augmente ou diminue d'une unité, suivant que ce quotient passe
d'une valeur positive à une valeur négative, ou inversement. Par con-
séquent, si le quotient -^ a le même signe pour /q et /^ le nombre des
changements de signes qu'il éprouve en allant d'une valeur positive à une valeur négative est égal au nombre des changements de signes qu'il éprouve en allant d'une valeur négative à une valeur positive, et l'on a
Mais si le quotient a des signes contraires pour t^ et /,, on a
le signe -+- correspondant au cas où la quantité ^ est positive, le
signe — à celui où elle est négative. D'une manière générale, les deux indices I et I, satisfont à une relation de la forme
dans laquelle s désigne un nombre égal à zéro, à -f- 1 ou à — t.
Il résulte de là que l'on peut exprimer l'indice de la fonction rr à
l'aide d'une somme de termes analogues à s, et de l'indice d'un dernier quotient dont le diviseur ne contiendra plus la variable t, indice évidemment égal à zéro. Pour fixer les idées, supposons que X soit d'un degré plus élevé que Y, et, pour l'uniformité des notations, représentons ce dernier polynôme par X,. Effectuons la division de X par X,, jusqu'à ce que nous arrivions à un reste d'un degré moindre que celui de X,; appelons Xj ce reste changé de signe. Divisons X, par Xa; soit X3 le reste changé de signe; en continuant cette série d'opérations, on parviendra à un reste constant, puisqu'on peut supposer que les polynômes X et X, n'ont pas de facteurs binômes communs; soit X„ ce dernier reste changé de signe. On a les relations
•(fe)->(è)=-
/X En ajoutant ces égalités membre à membre, et observant que I ( -^" '
est nul, il vient
I I y- 1 = £1 -f- Ej H- ••• + £„-,+ En.
Pour obtenir ï (W)' on calculera les valeurs
(X)jo, (X,),„, . . . , (X^i),^, (X^)/„,..., X„,
des fonctions X pour les deux valeurs ?o» f* de la variable t. Considé-
LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 2t
rons deux termes consécutifs (Xp,)f^, {Xp)t^ de la première suite, et les termes correspondants (X^,),^, (Xp),^ de la seconde. Si les signes des termes (Xp,)i], (Xp)^^ présentent une permanence ou une variation, et de ïnême les signes de (Xp,)f^, (X^),, une permanence ou une variation, on aura
Si les signes des deux premiers termes présentent une permanence, les signes des deux derniers une variation, on aura
Enfin, si les signes des deux premiers termes offrent une variation et ceux des autres une permanence, on aura
Représentons par P^ le nombre des permanences de la première suite qui se transforment en variations dans la seconde, et par Vp le nombre des variations qui se changent en permanences, il est clair que
Mais, si l'on désigne parV le nombre des variations de la première suite, et par V le nombre des variations de la seconde, on a aussi
V' = V + P,- v„, d'où
et
Ainsi l'indice de la fonction -^ est égal au nombre des variations gagnées par la suite des polynômes, quand on passe de /q à ^,.
26. Supposons que le contour C soit un rectangle ayant ses côtés parallèles aux axes des coordonnées {Jig. i5). Appelons y^ ety, les ordonnées des deux côtés ab, cd parallèles à l'axe des x, Xq et Xi les abscisses des deux côtés ac, bd parallèles à l'axe des y. Soit
on aura
le long de «6
le long ôe de
le long de 6rf
le long de ca
Xr=9(a:, j„), Y =zt\i[x, Xo)f a: variant de ^0 à ^1 ;
X= (^[x, fi), Y=4'('^>J')> ■3:' variant de ^, à .To ;
X=rcp(^„j), Yz=z'y){x„x)' r variant de jo à ^, ;
X = 9(^o,r), Yz^-'K^o, r), r variant de j. à 7,.
Supposons en second lieu que le contour C soit la circonférence d'un cercle de rayon /•, ayant son centre à l'origine. On peut définir les divers points de la circonférence par la formule z = /'(cos5 + « sin(5), où 5 désigne un angle variant de — ;r à 4- tt. Si l'on pose
lang-
on aura
,(Lzii! + ^iLY
et la variable t variera de — 20 à -f- x» . On abrège le calcul en opérant de la manière suivante ; on a
