La fonction paire
Fiz} = iM{z + t)^y.{z-t),
qui admet les périodes 2w, co -f- w', comme la fonction ii{z), et a les quatre infinis z = ± -- rp ^ des deux fonctions p, (z -r t) , p, (z — t),
est aussi du quatrième ordre; les zéros sont =t-et±— ; les deux
premiers sont les zéros, les deux derniers les infinis de p-(;z). D'après le même théorème, cette fonction paire est égale à une fraction rationnelle du second degré en ii{z). La fonction s'annulant quand lJ'{z) devient infini, le numérateur est du premier degré, le dénominateur du second degré; la fonction s'annulant avec ^-(2), le numéra-
leur ne contient pas de terme constant; on a donc
En faisant z = o, on détermine la constante A' = 2ix{t). On obtient ainsi
Considérons maintenant la fonction impaire
qui admet les quatre zéros o, 0), ûi ? dont les deux premiers sont
ceux de X (z), et les deux derniers ceux de v [z). La fonction paire
qui admet les périodes w, w' et les deux infinis z -~ zh i— -\- i\ , est du
second ordre par rapport à ces périodes; elle a un zéro double z ~ —-
Elle est donc égale à une fraction rationnelle du premier degré en X^ (2), et l'on a
i — k'p{z)}^ity
d'où
En prenant la dérivée et faisant z = o, on trouve
■ 2/ji'(0=^A'X'(o),' d'où
et par suite
(i8) ^.(z+O-Z^l^-O^-- ,/^-.XH.)À-(ô-"
Des deux expressions précédentes, on déduit la formule
On arrive, de la même manière, à la formule r,„^ ,,- . '..v{z)v{t)-,k^Mz)l{i)[x{z)fzlt)
Ce mode de démonstration des trois formules relatives à l'addition est dû à M. Liouville.
Addition des arguments dans les intégrales elliptiques de seconde espèce.
324. Nous avons trouvé (n" 273) l'expression de l'intégrale de seconde espèce par la fonction Q, savoir
En remplaçant, da^is cette formule, z successivement par z \- 1 ei par 2 — /, on a
Ç(z -f- 0= -,^ [(z + 0Ç|^ - D3log0(z + O]'
Ç(^-O-/7[(^-O^-D.log0(z-o]^
d'où l'on déduit
{..) ;(z + o+;(.-/)-^;(») = -pD.iog'""+g'.'ff.-"-
Pour transformer cette expression, nous nous servirons de la re-
lation
qui est l'une de celles du n° 309, et qu'il est facile de trouver directement, en remarquant que la fonction
6iz-ht)6{z~t)
admet les deux périodes « et w', et disposant des coefficients A et B
de manière que le numérateur s'annule pour les valeurs z = — àz t
qui annulent le dénominateur; il suffit pour cela que ces coefficients satisfassent à la relation AÔ^ (/) -h B5^(i) = o; la fonction est alors une constante; on détermine ensuite le coefficient A de manière qu'elle se réduise à l'unité pour 5 = 0, d'où AQ^{o)-= ô'^ (t) et, par suite,
BÔ^o)^ -^?(0- On a ainsi
eHt)9^{z)~e\it)e](z)^
e{z-hi)9{z — t)9'{o)
ce qui est la relation cherchée.
De cette relation, on déduit
en remplaçant dans l'équation (21), on a ^
et, si l'on permute les lettres z et t,
^[z + t] ^{z o-2Ç(0- ,/,,XMz)ÀM/) On en conclut
(24) • Kiz + t) = Kiz)-\-K{t) + l{z)l{t)l{z + t).
Quand le module k est réel, positif et plus petit que ud, cette formule permet de calculer la valeur de la fonction Ç(z) pour une valeur imaginaire X -hyi attribuée à z.
Addition des arguments et des paramètres dans les intégrales de troisième espèce.
325. Addition des arguments. — De la formule (.5) nU,a) = .-,ijy'-+-logj(-^-^j,
trouvée au n° 275, on déduit
On peut transformer le second membre de plusieurs manières. Si, dans la deuxième équation de la troisième classe (n° 304), on fait £f — y = o, il vient
Q[a+z)Q{b-^z)Q{a+h)B{o)—Q{a)e[b)e{z)e{a-hb+z)^Q,[a)Q,{b)Q,{z)Q^[a+b-^-z),
et, en remplaçant z par — z,
d'où
B{a ^z)B{b-\-z) B{a) B{b) B(z) B{a-hb + z)-h B,{a) 0.(6) 0. (z) B^ja-hb + z) B{a — z)B{b -z)~ B{a) B{b) B[z) B[a + b — z)- B,{a) B,{b) B,{z) B,{a -hb — z)'
On en déduit
B{a-+-z)B(b-\-z)B[a + b~z) x -^ k'l{a)l{b)liz)l(a -h b + z) B(u—z)B{b — z)B{a'^b-hz)~ i — /l^X(a) X{6) X(z) X(a -h 6 — z)
et, en remplaçant a, b, z par z, f, a,
1(2 — fl)Ô(/ — rt)0(z H-/ H-a) " 1 — /»»X(z)X{/)X(«) A(zH-f — rt)
On a ainsi la formule trouvée par Legendre
(28) Uiz -+- t,a) —Hiz, a) — Hit, a)=.-\oe, , . [^, \^ '; ^^•
326. L'équation (23), dans laquelle on remplace z et t successivement par z -h a, t -\- b, et par z ~ a, t — b, devient
eiz-^t + a-i-b)9{z-t-^a-b)dHo) L^m^^aWit • b)
on en déduit, en divisant membre à membre,
B{z-^t — a-b)Biz—i — a-hb)B'{z-^-a)B'{t-^-b) i - k'I^z — a)l'{t - b) 9{z + t-ha+b)Biz—t+a—b)B'{z — a)B'{t — b) ~ i — A'X^z + «}X»(/h- ZT)
et, en permutant les lettres a et b,
B[z-v-t — a — b)B{z—t + a~b)B'{z^b)B^{t-^a) i — k^l^jz — b)V{l— a) B{z + t-{-a-hb) B{z—t—a-\-b)B^[z~b)B^{t — a) ~ \ — k^l^ [z + b)l' (r+â) '
En multipliant les deux dernières équations membre à membre, on a
[ ^'(-g + a)B^Xz + b) B^t + a) B' [t -^ b) B' {z -h t — a — b) \ B'{z — a}B'{z — b)B'it — a)6'{t — b)B'(z-ht + a-\-T)
b ~ ff^'^'i^ — a)'>^Hi— b)][i — k'IHz - b)l'{t - a)] [ ~ [1 — k'I'iz -h a)}?{t + b)][i — k'T^'iz + b}V{t -{- a}]'
Si l'on fait 6 = 0, cette équation se simplifie et devient
B^{z-ha) B'[t+a) B'{z+t—a) [1 — k'^jt) l' jz—a)] [i — k'l'' (z) l'it—a)] ^ ^' B'{z—a)'B'{t—a)B'{z-ht-+-a) ~ [ï— k''k\t)l'{z-^a}][i~ k'l'{z)l''{t±a)]
On obtient ainsi l'équation
/o X rr/ X TT/ N T,. N ï. \x—k^l'{t)l'(z—a)]\i—k'V(z)lHt—a)]
327. Addition des paramètres. — En effectuant la permutation du paramètre et de l'argument, d'après l'équation (27) du n° 277, on a
n (2, a + b) - n (« + b, z) = k' [{a + 6) Ç (2) ~ zÇ (a + 6)].
ADDITION DES ARGUÎtfENTS. 515
En remplaçant Tl{a-h b, z) et Ç (a + à) par leurs valeurs tirées des équations (26) et (24), on arrive à l'équation
(32) I i/v-v/Ln/ L\ ». e(z-]-a)6(z-{-b)d(z — a — b)
/ =~ k'zl(a)l( b)l (a -h b) -h -\og-^, V^ j^. r-S
qui, à l'aide des relations (27) ou (3o), se met sous les deux formes n{z, a + 6) — n (z, a) — n (z, b)
328. Formules générales. — Proposons-nous enfin de calculer la fonction II (z h- /, a h- h). Si, dans l'équation (32), on remplace z par z -h ?, qu'on substitue ensuite à II (s + Z, a) et à II (2 + ^, è) leurs valeurs tirées de l'équation (26), il vient
n(z + /, a-f-6) — n(z, a)- n(z, 6) — n (/, a) — Il (f, b)
• 1 I, e(z-f-g)efz + 6)0(/ + fl)0(/H-6)0(z + f-a-&)
( "^2 ®^e(z-aj9(z-6)e(/-aj0(/-6)ô(z-H/-fa + 6)'
et, en vertu de la relation (29),
n(z + f, a + 6) — n(z, a) — n(z, 6) — n(/, a) — ÏI(/, 6)
'^4^^[i-A-'X'(z + a)X'(/ + 6)][i-A-'X^(zH-6)X'(/ + a)]'
A l'aide de cette formule, le calcul de la fonction II (2, a), quand on attribue à l'argument et au paramètre des valeurs imaginaires quelconques, est ramené aux cas où ces deux quantités sont réelles, ou imaginaires et de la forme a?. *
me LIVRE VII. - CHAPITRE III.
329. Nous avons vu (n^ 75) que les quatre fonctions $ satisfont aux relations
6(z + cù) __ ^i(z 4-0)) 6t{z -f- m) 03 (z + cj)
^'' ~'êïzj~~ -d,{z) " -e.iz) - e,{z) ~''
^''■' —0(2) ~ -9,{z) -" 6,{z) ~ ds{z) "^
0,(2) " —id{z) ' 03(2) ' /0, (z) ^
Nous nous servirons aussi, dans ce Chapitre, de quatre des relations du n° 309, savoir
/ d{z-h a) B[z~a) 9' (o) = 0' (a) 0» (2) - 6] (a) Q] (2), 0,(2 + «) 0,(2 - a) 9' (o) = - 0Î («) 0» (2) + 0' (a) 9] (2), 0,(2 + a) 0,(2 - a) 0' (o) =r 0^, (a) 0' (2) - 9] [a] 6] (2), 03(2 H- a) 03 '2 - a) 0Vo) z^ 0^ (a) 0^ (2) - 0^, (a) 0f (2).
MULTIPLICATION DE L'ARGUMENT. 51t
Multiplication par un nombre impair.
- -h m — n II
étant des nombres entiers quelconques; elle satisfait aux relations
330. La fonction 5, (nz) admet les zéros z = m - -h w' — > m Qim' ^ ' n II
6i{nz -{- n(ù)=— 9i(nz), di{nz \- non )=z— e " dt[nz).
La fonction
forméo par le produit àesn"^ fonctions oAz -\- p- -f- y — )» que l'on obtient en donnant n valeurs entières consécutives à cbacun des nombres p et q, admet les mêmes zéros et satisfait aux relations
Si l'on attribue à cbacun des nombres p el g les n valeurs consécutives
les n^ valeurs de la quantité p — \- q— étant égales .deux à deux et
de signes contraires» leur somme est nulle, et la relation précédente se réduit à
De cette manière, le rapport -^y-p^ admettant les deux périodes w, «'
et restant bolomorpbe pour toutes les valeurs de z, est une constante A, (n° 146), et l'on a
?. (/i2) = A, jj ô, (^2 -I- /.y^ -1- ç^y
Nous mettrons à part le facteur ^, (s), qui correspond à/? = o,jq~ o; puis nous combinerons, avec la valeur p — o, les valeurs positives
1 , 2 , . . . , de q, et avec les valeurs positives i , 2 , . . . , de p
les n valeurs o, ±: i, L 2, . . -, =fc — ^^— de y; si l'on appelle a l'une
quelconque des valeurs de la quantité p- -h ^ - ainsi obtenues,
les autres valeurs étant respectivement égales aux précédentes et de signes contraires, on aura
a.(«z) = n0.(z)JJ ^ .
En remplaçant le produit Ôi{z -h a) dt{-z — a) par la valeur donnée par la seconde des relations (7), il vient
(8) . . 0.(nz)e»'-'(o) = n0.(z}n[0'(^)--^-j^î(^)]-
331. Les zéros de la fonction Ô (nz) sont compris dans la formule ^ = m - -f- (2m' -h i) — ? que l'on peut mettre sous la forme
^ — — h m - ^- m'j — ) puisque n est impair, m et m\ étant des nombres entiers quelconques; ils sont les mêmes que ceux de la fonction
formée par le produit des n^ fonctions 0 Iz -{- p~ +^~)' que l'on
obtient en donnant à /> et à çr les mêmes valeurs que précédemment; d'ailleurs ces deux fonctions satisfont aux relations
6{nz -{- iim) f{z -h m)
e{nz) - ■ f{z) -''
9{nz -h nci') f(z ■+&)') !L'(,„2a + «-^<..')
elles sont donc dans un rapport constant, et l'on a
En combinant les facteurs comme précédemment, il vient
et, en vertu de la première des relations (7 ),
(9) 6{nz)e"'-^io) = eiz)ll^Q^{z)~^^e\{z]j- On trouve, de la même manière,
(10) 9,{nz)6'"-^ (o) = 64z) fj [ô'(z) - "H^ ^î (2)]'
(.1) e.Anz)e'"'^{o)=:9.iz)Jl^eHz)-^^^9](z)]^-
332. Les formules précédentes, appliquées aux fonctions Al de M. Weierstrass, donnent
Al {nz)= AI U) JJ [AI' (2) - /f'A'(a) AIJ (z)],
AI.(nz) = /iAI.(2)Jj[Al'(2)-^AIÎ(2)],
j AI,(nz)= AU(z)];j[aP(2)- ^AIÎ(2)],
f Al,(nz)= Al,(z)J]; [aP(z)- /r^ ^^ A\] (z)].
Les seconds membres sont homogènes et du degré n^ par rapport aux quatre fonctions Al (z). On en déduit
et l'on a
(i4) l{nz)z^—^~, iJ.(nz)= ^ ^ ,. v{nzi = ~^'
Les lettres P désignent des polynômes entiers pairs en >. (2), et du degré n^ — r .
Multiplication par un nombre pair, 333. Considérons d'abord la fonction Os{nz), dont les zéros z = (2m 4-1) — f (2/7i'4-i) — sont les mêmes que ceux delà fonction
où jo et ^ reçoivent h valeurs entières consécutives. Si l'on attribue à 2p -h i et à 2q-hi les n valeurs impaires consécutives ±1, ±3,. .,
d-{n — i), les n^ quantités (a/) -m) h {2q-\-i) — étant égales deux
à deux et de signes contraires, leur somme est nulle, et l'on a
e^nz) '■' fi{z)
La fonction holomorphe -^^^-^5 admettant les deux périodes w, w', est une constante, et l'on a
Si l'on combine avec les - valeurs positives de 2p 4-1 les /î valeurs de 2q 4- I et si l'on désigne par a^ l'une quelconque des 7- quantités (2/) 4- 1) \- [2q -\- \) — ainsi obtenues, il vient
6,(nz) __ -p-|- 0, (z + a,) 9,{z — a,)
et, en vertu de la seconde des relations (7),
334. Les zéros z — m — h (2m' + i) — de la fonction Binz) sont les mêmes que ceux de la fonction
où n valeurs entières consécutives de l'une des lettres p ti q correspondent à chacune des n valeurs entières consécutives de l'autre. Nous attribuerons à 2^ + 1 les/i valeurs impaires consécutives ±1, =1^ 3,..., =b(/i — i), et à/7 d'abord les/i — 1 valeurs consécutives o, ±1, ±2,. .,
— ( 0' P^^s ^^ valeur- avec les valeurs positives de 2^ + 1, et la
valeur — - avec les valeurs négatives de 2^ + i; de cette manière, les
n^ valeurs de la quantité/? - -1- (2^ + i) — seront encore égales deux à deux et de signes contraires, et l'on aura
9(«z) = Afj0.(2 + p^+(2^4-i)|^)
Si l'on combine avec les valeurs p = o et p = - les - valeurs positives
de a^r -+- 1 , et avec les valeurs positives i , 2 , . . . , i de /> les /i va-
leurs de 2q -r i, et si l'on désigne par a les — valeurs correspondantes de p- + {2q -{- ï) — > il vient
9{nz) yt6,{z-{- a)9i{z — a) d(o) ■""" 11 9]{a} '
et par suite
335. Les zéros de la fonction Q2 [nz) sont les mêmes que ceux de la fonction
Mz)-^\le.\z + {ip + i)^-\-q'Ç^
où nous attribuons à 2/? + i les /i valeurs consécutives zn i, ±: 3, . . . , ±:[n~i), et à q d'abord les n - i valeurs consécutives o, ±1,
dz 2, . . . , dr f- — I j , puis la valeur - avec les valeurs positives de
2/î -h I et la valeur avec les valeurs négatives de 2/? + i; on a,
comme précédemment,
Si Ton combine a^ec les valeurs ^ = o et 5' = - les - valeurs positives
de 2/? +- I , et avec les valeurs positives 1,2,,.., i de q les n valeurs
de 2/>-f-i, et si l'on désigne par a^ les valeurs correspondantes de (2/? + 1) T q~^ il Vient
9i{nz) |-|- 6,{z + a,) 9,{z — Uj) et par suite
336. Considérons enfin la fonction ôi{nz) dont les zéros sont les mêmes que ceux de la fonction
dans laquelle/? et q reçoivent les n^ couples de valeurs entières com-
MULTIPLICATION DE L'ARGUMENT, pris dans le tableau suivant :
pr^o, q=o; p^^, q^o; p = o,q=^', p
n II
p o, q — '±i, dz9.,.
De cette manière, la somme des n^ valeurs de la quantité p- -h g — est nulle, et l'on a
9,(nz) = A,Jj9, U + P^ '^^^ '*
Les quatre premières combinaisons donnent les quatre facteurs 9, (z),
^2(2), 0{z)j ^3(2). Les autres valeurs de la quantité p — h ç— sont
égales deux à deux et de signes contraires; en ne prenant que la moitié des combinaisons, savoir :
et désignant par «, les valeurs correspondantes de/? - -r ^ — 5 on aura
^'^''^^" 0(0)0,(0)03(0) ■' 11 ' 0î(rtj ~ '
et par suite
(i8) Oa'^^)9"^-'(o)0,(o)93(o) = /i0(2)0,(^)9,(z)93(z)];j[0^(z)-|^|^0î(2)J.
