ADDITION DES ARGUMENTS DANS LES FONCTIONS ELLIPTIQUES
317. Nous avons trouvé (n° 308) seize équations trinômes, linéaires et homogènes, entre les quatre quantités 5 (a-f- b), Q^[a-\- b), Q^[a-^b)y 63{a-\-b), qui déterminent leurs rapports et qui, par conséquent, peuvent se réduire à trois d'entre elles. Si l'on divise tous les termes par le produit ô [a) 6 [b) 6 {a + b) ô (o), elles se transforment en des relations linéaires entre les trois quantités X(a + b), ii{a i- 6), v{a-\-b). Les quatre premières
fz (rt-f- 6) H- X(a)X(6)v(a-4- 6)— a{a)fji{6) = o, via -h b)-[- /i'l{a)l{b)iJ.{a-{- b)— v{a)v{b) = o, v{a)v{b)ix{a-hb)-fj.{a}[x{b)v{a-hb)-hI("l{a)'k{b)=o, V {a)v (b) V {a -h b) - k'ij.{a) ix{b) y.{a -h b) — k'\
sont symétriques en a et 6; les douze autres sont les suivantes :
X(a)fJL(a-i- 6) + X(6)v(a+6) — /ji(rt)v(6)X(a+ 6) = o,
Ij. {a)v [b] ii.{a '\' b) — v{a) iJ.{b)v [a + b) + k'^'k{a)l{a -\- 6) = o,
À(a)v(6)X(aH-6)-+-/jt{a)/ji(a-i-6)— fjt(6) = o,
li[b)'k{a+b) — 'k[b)v{a)ix{a + b)-l{a)v{b) = o,
v{b)'k{a-hb)-l{b)y.{a)v{a-h b)~ l{a)y{b)=o,
et les six qu'on en déduit par la permutation des lettres a et b.
318. Les deijx premières donnent fj.(a-f- Z») et v(a-h b); en substituant ces expressions dans la cinquième, ou dans l'une des suivantes.
on trouve X {a -h b). On obtient ainsi les formules
' , ,^ l{a)f:.(b)v{b)-^lih)ix{a)v{a)
relatives à l'addition des arguments dans les fonctions elliptiques. Quand on connaît les valeurs des fonctions elliptiques pour les arguments a et b, elles donnent leurs valeurs pour un argument a-hb égal à la somme des deux premiers.
A l'aide de ces formules et de celles du n° 235, on peut, lorsque le module k est réel, positif et inférieur à l'unité, calculer les valeurs des fonctions elliptiques X(s), ii(z)y v{z) pour une valeur imaginaire " z = X -h yi attribuée à l'argument.
Les relations de seconde espèce conduisent encore plus rapidement à ces formules. Considérons, en effet, les trois équations (n'' 310)
et divisons chacune d'elles membre à membre par la quatrième équation du n° 309
9{x -\- a)9{x - a) 9'{o) = Ô'(a) 9-'{x) - 9] (a) ÔJ (x), nous obtiendrons immédiatement les formules (i).
319. Les formules précédentes, dans lesquelles on remplace b par — bf deviennent
/' , ; , lia) iJ.{b)v{b)~l{h)y.{a)via)
] , ., ix{a)ix{b) + l[a)l{b)v{a)v{b) (^) fx(a~6) = \-k-l^[a)-K^[b) ' .
f v{a)v{b) + ¥'k{a)'k[b)ii{a)iJ.(bX
On en déduit un grand nombre de relations, parmi lesquelles nous citerons les suivantes :
Le groupe (5
^lia-~b)^.^2:S^MÈ}l(È), ^ ' \ — h^\'{a)\^{b)
-hv {o —b)
— lia — b)
'{a)}:^iby
2v(a)v(6) i—ff'>}{a)V{by
I —/i'}.'[a)}?(b) '2f,n(a)'k{b)^ia)li(b)^ ''~ i — k'V{a)l'{b) "'
1 — ^^^'(ajX't^) / t s -N / 1. ^* , IX 2X(6)v(6) a(a)
/ t» -v / iLx / i.\ 2X(a)a{a)v (6)
/ 1» -, / Ls / JLx 2À (6) a(6) V («)
^(„ 6) X (a - 6)^(a + J) = y^rFF]^)'
résulte immédiatement des relations du n" 309.
La première des équations (4) peut être mise sous la forme
il)
on a aussi
(8) XMa + 6)-XM«-6)^-i-,l);jog[i-A-a=(a)>'(6)].
Jacobi s'est servi de ces dernières formules pour trouver les développements des n*^"285 et 286.
320. Si, dans les relations (3), on ajoute à a Tune des quantités — »
5 — — -^ on obtient les neut relations
ÎJa-h b)'^' l{a—b)^ V{a) — l'{b) ' I I ih^ix{a)[x{b)
I I iv{a)v{b)
v(a + b) v{a—b) h" + k'y?{a)ix^[b) (ji{a-[-b) (x{a — b) __'2jx(a)jx{b)v{a)v{b) v{a-hb} "^ v"(«— 6) "~ k"-]-k'ix'{a)^'{b) ' via + b) v{a — b) 2/f'fx(a)ftt(6)v(«)v(6) lj.{a-^b) "^ /:x{« -/>j " v'(«)v=(6) — /P» '
v(aH-6) , v(a — />) 2X(a)/ji.(6)v (a)
X(a-f-F) "^ IÇa—b) ~" ~X»(«)->;^6y '
X(aH-6) >i(a— Z>) •2.1{a)ix{b)v{a) v[a 4- 6) "'' i;(« — 6) ~ h'^-^ k^ij}[a)y:'{b) ' ^(a+ 6) X(rt! — 6) 2/.-'X(a)fji(a)v(6) u.{a+b) "^ ]ui(«— 6) ~- v^(a)v^(6) — A-"" '
|[x(a4-6) [x{a—b) 2>(fl)|tx(«)v(6)
IfûTT) "^ X(a — 6) ~ "X^(a) — X'(6) ■
Les équations (4) donneraient, de la même manière, neuf relations analogues aux précédentes.
321. Remarque. — Nous avons dit (n° 260) que le problème de la
transformation est de trouver une fonction y de x, telle que l'expression différentielle ~, où Y désigne un polynôme entier du troisième ou du quatrième degré en y, se transforme en un autre de même forme -=î X étant aussi un polynôme entier du troisième ou du qua-
trieme degré en x. La formule l(z-ht) = /,-,,, \J,.-. -—•>
dans laquelle on regarde z comme une variable et t comme une constante, opère la transformation la plus simple. Si l'on pose, en effet, X = 1 (z), y =z\(^z -i- t), et que l'on représente par a la constante / {t), cette formule devient
, , X J{i — a^)li — />^^) ■+■ a \'[i — X' ) (ï — k^'â;^}
mais on a
I dx 1/ ^ I dv
dz = - — •> d(z -h t) := dz-
^{i—x'){i-~ ff^x') V{ I — ^-^ ) '( I — A-'^* ) '
d'où
dy dx
Ainsi, quand on remplace j par sa valeur donnée par l'équation (lo), la première expression différentielle se transforme en une autre tout à fait semblable. Celle fonction y de x est l'intégrale de l'équation différentielle (n), à laquelle on joint la condition initiale y == a pour X = o.
La découverte d'Euler, à laquelle nous avons fait allusion au n** 270, et qui a été le premier pas dans l'étude des fonctions elliptiques, consiste dans l'intégration, sous forme algébrique, de l'équation différentielle
La formule de- l'addition donne immédiatement cette intégrale; car, si l'on pose x — ^{z, k),y = 'k{t, k), l'équation précédente se réduit
à dz -\- dt = o; l'intégrale générale est ^ + ^ = C, ou bien
C et C étant des constantes arbitraires. En développant X(z + /), d'après la formule (3), on obtient l'intégrale trouvée par Euler
Autre méthode.
322. On peut obtenir directement les formules de l'addition sans recourir aux propriétés des fonctions B. La fonction
dans laquelle on regarde t comme une constante et z comme la variable, est impaire et admet les périodes aw, w', comme la fonction ^[z). Elle est du quatrième ordre; car elle a quatre infinis dans chacun des parallélogrammes du réseau construit sur. les périodes, savoir les deux
infinis z= /, z = w H i de X (s + z) et les deux infinis
— -{-^, 5 = wH f-/deX(.z — /). Les quatre zéros sont o, w, — j
M + — j les deux premiers sont les zéros, les deux derniers les infinis
àcl[z). On a d'ailleurs /(w — 2) —/(2). D'après le théorème du n'^ 160, celte fonction est égale à une fraction rationnelle du second degré en X(2). La fonction s'annulant quand X(^) devient infinie, le numérateur est du premier degré, le dénominateur du second degré; la fonction étant impaire, le numérateur est impair, le dénominateur pair. Le dénominateur, devant s'annuler pour les quatre*valeurs de z, qui rendent /(z) infinie, est de la forme
on a donc
AX(z)
kn'{z)i'{t)
On déterminera la constante A en prenant la dérivée et faisant ^ = o, ce qui donne
2X'(/) = AX'(o),
d*où
On obtient ainsi
En permutant les lettres z et t, on en déduit
En ajoutant ces deux expressions membre à membre, on arrive à la formule
(.R\ ■>/, , ,,'^{z)ix(t)vit)-hl{t)[j.iz)v{z)
{ib) l{z-^t)- ,-k^i^z}l^{T)
