AI
Ai"
l,(nz)^-p|-r ^M^)1 p l-(z) " 11 [ A^[a,}]
et l'on a
(21) l{nz):= ^^^' ' , p(«z) = — , v(/iz)
Les lettres P désignent des polynômes entiers pairs enX(z); le polynôme V^ est du degré n^ — 4» les trois autres du degré rî^.
Méthode de calcul d'Abel.
338. Les quatre polynômes P renferment des systèmes de constantes telles que X (a), dont nous ne connaissons pas la valeur; mais on peut obtenir ces polynômes par un calcul de proche en proche, imaginé par Abel. De la première des relations du n^ 310, et des quatrième, huitième et douzième relations du n** 309 on déduit, en remplaçant x et a par nz,
Al,(2n2) = 2Al,(nz) Al(nz) k\i{nz) k\i{tiz), AI {o.nz) = kV{nz) — hk\\{nz), ^ ' ^ kU{^nz) = k\\{nz) — k"K\\{nz\
kU{'2.nz)=:k\\{nz)^k*k''k\\{nz).
Des première, quatrième, huitième et douzième relations du n° 309, on déduit de même, en remplaçant x et a par {n -\- i)z et nz.
k\,[i2n-hJ)z]k\,{z) = k\][{n-\-i)z]k\' (nz)- k\'[in + i)z]k\]{nz), Al [(2/n-i)z] Al (2) = A1' [{n-hi)z]kV {nz}- k'k\] [[n + i)z]kV,{nz), kU[{2n-hi)z]kh{z).= k\l[{n-hi)z']kïl{nz)-k''k\][{n-hi)z]kV,{nz]y \ kh[{in + i)z]kUiz)=k\l{{n-hï)z]k\l{nz) + k'k"k\][{n + i)z]k\]{nz).
Faisons d'abord n = i, les équations (22) donnent les quatre fonctions Al (2z); en les substituant dans les équations (23) et remarquant que les seconds membres sont divisibles respectivement par Ali(2), Al^ (z), . . . , on obtient, pour les quatre fonctions Al (3z), des expressions entières contenant en facteur la fonction Al {z) correspondante. En faisant n = 2,on obtiendra ensuite A\{l[z) et Al(5z), et ainsi de suite. D'après ce mode de calcul, il est évident que les coefficients des polynômes, tels qu'ils se présentent, sont des fonctions entières de k^, ayant elles-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Si l'on remplace A\l{z) par AP(z)-Ai;(z) et Al^(z) par AP(z) - FAl^ (z), les coefficients conservent les mêmes propriétés. On pourrait aussi déduire de cette méthode de calcul les degrés des polynômes.
Une fois qu'on a trouvé de cette façon les expressions homogènes des quatre fonctions A\{nz), en les divisant par Al'''(z), on en déduit celles des quatre polynômes P. Ces polynômes entiers P, ordonnés par rapport aux puissances de X^(-s), ont pour coefficients des fonctions entières de k^, ayant elles-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Si Ton remplace ^^(js) par i — (x"^ (z) et que l'on ordonne les polynômes P par rapport aux puissances de fJt.^(^)» les coefficients jouiront
des mêmes propriétés; mais, si l'on remplace "^^ {z) par - — zr— et
que l'on ordonne les polynômes par rapport aux puissances de v^ {z), les coefficients cesseront d'être entiers en k^; chacun d'eux sera égal à une fonction entière de k"^ divisée par une puissance de ^% au plus égale à l'exposant de v^{z).
Voici quelques propriétés de ces polynômes; représentons-les par
\ P, = 2 AV"^X^"'(z) = 2B(.'") ix""{z) = lC['"H""iz),
^^^^ j P. = 2 A(/^) l""iz) = l B(;«) ij.''"{z) = l C^f ) v"" (z),
l P3 = 2 A';"^ X^" ( z ) = 2 3^3'") ix""(z) = l Cf/") v'" ( 2 ).
Concevons que l'on remplace k par t et z par ^z. D'après' les relations
du n° 234, la fonction X(z) se change en k'k{z), et les fonctions p. (2) etv{z) se permutent. En vertu des relations (9) du n° 288, les expressions (i3) ou (20) des polynômes P au moyen des Al montrent que les polynômes P et P, ne changent pas, tandis que les polynômes P2 et P3 se permutent. D'après cela, les coefficients de ces polynômes doivent satisfaire aux relations
A('")(/r)=:/r-^'"AW QV CC-^f/r) = B('«) f i) , (.5) \A<r\k) = k^"'k^'[l), C^\k) = B^'^(^],'
Ai'"\k) = k-''k["'^(^^, Cl"'\k) = B['"'{j-y C^\k)
On en conclut que les coefficients A""), A^^^ ^t^^ ^f\ B("'^ W;r\ B'f , B^^\ qui sont des polynômes entiers en P, sont au plus du degré m par
rapport à F. Le coefficient A^'"' est un polynôme réciproque en k-, de même A^"'^. Le coefficient k^^^ se déduit de A'^\ et, par conséquent, P. de P,
3 uv i 2-
Méthode de calcul de Jacohi.
339. La méthode d'Abel donne les polynômes P par un calcul de proche en proche. On obtient directement l'un quelconque d'entre eux à l'aide d'une équation aux dérivées partielles due à Jacobi. Nous avons vu (n° 290) que les quatre fonctions
u = A\{z), u,=^^kA.\,{z), a,= i/rjAUCz), «,= -Lr Ah (2) satisfont à la même équation aux dérivées partielles
t>z' iz }i/c '
dans laquelle on suppose le multiplicateur g égal à l'unité. En remplaçant z par nZf on en conclut que les quatre fonctions
U=:A1(«2), U.= v^^AI.(nz), U,= i/-^AI,{nz), V,=: -L- A\,{nz)
satisfont à l'équation
(27) ^ -^2n'k'z\^- -i' 2n'kk"l^ -h n*k'z'\J = o.
' . <)z* dz ik
Puisque
ciMogM /^logwX^' I yu
Jz' "" \~Tz~) ~u Jz"' on peut mettre les deux équations sous la forme
, o, ^MogM /;)log?f\= ,, ^lo^M ,,,.àiogM ,
éZ' \ ôz / ^z iik
Considérons les quatre fonctions
'.AI"'(z) ' AF(2) ^ Al"^(z) ■' AK-(2)
que l'on obtient en divisant les quatre fonctions U par la même quantité AV''{z). Si l'on remplace l'une quelconque des fonctions U par sa valeur Vm"' dans l'équation (29), et si l'on tient compte de l'équation (î>.8), on a
MogV
... ^logV ,, , > 3MogM
t^W* cZ
et en mettant à la place de — r-^ sa valeur — k'^\^ {z) (n*' 287), (3o) ^- \- 2/1^ (^-J^^ 4- /r^z^ ^ -F- 2n'/f/r'' ^y + n'(n'- i)k'l'{z)Y = 0.
340. Posons maintenant x= — = \/kX(z, k), et regardons V comme une fonction des deux variables indépendantes x et k; comme on a
Yz ~~ 'dx ^^ Jz^ ~ ^' \:)z ) '^ :ix ^z-' '
i/f ~ [jk) ~^' :ix ik ' l'équation (3o) devient
Les deux fonctions u et w, satisfaisant à l'équation (28), on en déduit, par soustraction,
^■'««^ /31og«,\. /Mog«V ,. ""^«a. M./'°^»
OU
\ ^z / Dz D/r
Grâce à cette relation, le coefficient du second terme, dans l'équation (3i), se simplifie, et l'équation devient
En remplaçant I r-J et — par leurs valeurs on arrive enfin à l'équation différentielle
On la simplifie un peu en remplaçant la variable k par la nouvelle variable a. — - ik -i- tY-, l'équation devient
(l — 2(XX'' -+- X*) • 4- 2(n' — l)(0CX — X^) r—
^ ^x^ - ôx
-f-4n'{i — a')r hn'{n'—i)x'Y=o.
doc
Les quatre fonctions V satisfont à cette même équation différentielle. 341. Supposons qu'au lieu de la variable a; = — on prenne la va-
riable y =^ -- = yji P-i^* ^)» 1^ transformation de l'équation (3o)
s'opérera de la même manière : il suffit, dans les calculs, de remplacer Ut par «2 et ce par j; on arrivera donc à l'équation
analogue à l'équation (32). Mais on a (n° 159)
et l'équation (35) devient
On peut encore effectuer la même transformation en se servant de la variable t — ~ — --y v(2, k)\ on obtient l'équation
que l'on déduit de l'équation (32) en remplaçant x par t. Gomme on a
l'équation devient
342. Voici comment on peut, à l'aide de ces équations différentielles, calculer les polynômes P. Nous avons substitué aux variables X, fx, V les nouvelles variables
(39) *=#JW=^'. r-v/ï^M^)=.-5^'. ' = ;^"W = ?rîy'
et nous avons considéré les quatre fonctions
; ^ 0(TOz)0"'-(o) 0.(ytz)e"^-'(o)
Si, pour les quatre polynômes P, on pose
(41) A'"-) = A'"a('"\ B("'> = ^py'6""), O") := ^ c("),
les formules (24) deviennent
et les coefficients a^"*^ satisfont aux relations
(43) flW{/f)3=a("0 ^iV a\'"M^) = «^.'"' (t:)' «^rM^) = «'r^ (t)*
Les coefficients A^"*^ et A^f*^ étant des polynômes entiers et réciproques en k du degré 2m ail plus, les nouveaux coefficients a^'"^ et d'^'^ sont des polynômes entiers en a et du degré m au plus.
D'après les premières des équations (i3) et (20), le polynôme P est, dans tous les cas, égal à la fonction V; c'est un polynôme entier pair en Xy du degré /i- — i ou n^\ on le calculera à l'aide de l'équation aux dérivées partielles (34). Si, dans cette équation, on remplace V par sa valeur la^'^^a;^'", et que l'on égale à zéro l'ensemble des termes du degré
2m en a?, on obtient une relation linéaire
|(2m -t- i)(2m -I- 2) «("'+')-!- /^m{n^ — 'îm)cta . -f 4«'(i — a') —7- 1- (w'— 2/n -h i)(rt'— 2m -f- 2) «("'-') = o
entre trois coefficients consécutifs. Le premier coefficient a'"^ est égal à I ; en faisant m = o, on trouve «'" = o; en faisant m = 1 , on trouve
n'fn'— i) . ,.„ 2»'(«'— i)(/i'— 4)a —^-7 — '> puis «'-'^^ ^ ^\. ^^-5
et ainsi de suite.
343. Nous allons maintenant distinguer deux cas, suivant que n est impair ou pair. Lorsque n est impair, d'après les équations ( i3),
