V-^P, V.:r..rP„ V, : jP„ V3 ^. / P
Il est évident que les quantités P, qui sont des polynômes entiers enX^(z), sont des fonctions de z doublement périodiques, aux périodes &),&)', et de l'ordre n" -- i ; elles sont représentées par les formules
O.(nz)0«--'(o) . QAnz)Q"'-^{o)
que l'on déduit des formules (l\o), et elles satisfont aux relations
Pl.-.^^ P,f.+ "
P,(zj
MULTIPLICATION DE L'ABGUMENT. 533
Mais, quand on remplace z par z -f -, t se change en -, quand on remplace z par 2 + — ^ a? se change en — -, enfin, quand on remplace z par z + -^^ "^ " ^ y se change en -^- Il en résulte que, si Ton regarde
les polynômes P comme des fonctions de l'une des variables x.y^ z, on aura les relations
Ainsi, une fois qu'on a calculé le polynôme P, ordonné par rapport aux puissances de a?, on en déduit immédiatement le polynôme P, ordonné aussi par rapport à x\ le coefficient du terme en x"^ dans P étant nul, celui du terme en af'~^ dans P, est aussi nul. Si maintenant on ordonne le polynôme P par rapport à j ou à /, après avoir remplacé x"^ par sa
valeur k — ky^ ou — r — ^ on obtient P2(j) et P3 (/). On a aussi les relations
(49) P.(^)=-=^-"^-' P. (^ j ^ Pa (r)={ - 1 )"~r'"-' P. (y) . P.(o=( - i.)~V''- P. (^^ .
La première donne P3 (a?), quand on connaît P2(^); on en déduit
d^"^ == a\ '■ '"\ et, en vertu de la troisième des relations (4^),
(^P~~"'' [k) ^ «2"^(^)' aÇ^'^'^k) rrn a:i"^iÇ)\ les coefficients numériques des termes également éloignés des extrêmes dans les polynômes P2(^) ou Vz{oc) sont donc égaux entre eux. Il suffirait, d'après cela, pour avoir les quatre polynômes, de calculer directement la moitié des coefficients de l'un des polynômes ^^(x) ou V^(x), à l'aide de l'équation (34).
On connaît les premiers coefficients «; les premières des relations (48) et (49) donnent les derniers. Quand, dans l'un des polynômes P(^),
I — Jf' P on remplace x'^ par k — ky- ou par — j — » le coefficient de la plus
haute puissance de 7 ou de ^ est égal au coefficient de la plus haute
puissance de ce multiplié par k' '■ ou par (y j . Connaissant de la
sorte les derniers coefficients b et c, les deuxièmes et troisièmes des relations (48) et (49} donnent les premiers. On a ainsi
I ~ ".-:ii " {Lui ~ ~r
ri — I n — I ■ I " I '
La connaissance du dernier coefficient, (r- * ^ :i- (— i) ' /i, servira de vérification dans le calcul de P.
En appliquant cette méthode au cas simple où n — 3, on trouve
MULTIPUCATION DE L'ARGUMENT. 53S
En l'appliquant au cas oii^ — 5, on trouve
P= 1 —5o:r*-i-28oa:c"— 5(25 + 128a') x«H-32(23a + i6a')x'»— 2o(i5 + 48a')^" -l-']20(xx'*— io5j;"^— 160 xx'^ -h- (62 -t 64 a' j^^" — 4oaa:"+ 5;r'%
P,=5 — /^oocx^ -] (62 -l-64a')a;^— 160 a j;''— io5a'*-h 72oa^"— 2o(i5+48a^) a;" H- 32 f 23a + i6a^)^" — 5(25 4- i28a')a:'^+ 180 acx'* ~ Sox'" -+-x".
34-4. Considérons maintenant le cas où n est pair; on a, d'après les équations (20),
(5l) Vr^P, \,=:Xs/l-^acX^+X*P„ V. = i/|^ P„ V,=:\/^P3.
Les quantités F sont encore des fonctions de z doublement périodiques aux périodes w, w'; elles sont représentées par les formules
( p , ,. d(nz)e'"-^(o) p , ^ 0,(nz) 9.(0) 0,(0) g"'-^(o) et satisfont aux relations
rK^) '^{^-^ ^^(-;) M^-^) .
P(S) ii P3(2) " ii /"*
(-irp,(3) '^ -(-i)M^p.(z)
On en déduit les relations
\ P(a;)r-(-ir^-p(^), P,(^)=--(-.r^"-'P.(M, (54) s / \ /
( v,{x)=x"-pJ-^y P3(^)=^"^P3(^]»
et d'autres de même forme par rapport %ux variables y et t. D'après cela, dans chacun des polynômes, les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux, ou égaux et de signes contraires. On connaît les premiers coefficients a<"^ = i, dl^'' = n, à\^^ = r, «^3^ =i, et par suite les derniers. On calculera le polynôme P, comme précédemment, à l'aide de la relation (44)» et il suffira de trouver la première moitié des coefficients.
En faisant le calcul pour n = 6, on trouve
p = [i — x'') - io5a7'(i— X'') +- 8ç)6 OCX' {i — x'*) — 12(37 -f 288a')^'{i — ar'") H- i536(3a + 4a')a;'»(i— x'') + 4(621 H- 336oa'-l- \oi^a.*)x''{i ~ x'') + 384(33«+ Zix')x''{i — x*)-v- i26(i5+ i28a')x'^(i — x*).
Équations différentielles d' Abel.
345. Nous avons représenté par x la fonction sj'k\[z). Si nous représentons de même parX la fonction \Jk'X(nz), ces deux quantités vérifient l'équation
(55) iffdz "^^ ''^
ny'i — 2aX^ + X^ s/i — 2cxx''-h x*
OÙ a désigne la constante - f^ -h t)* D'après ce que nous avons dit,
X est une fonction -^ de x, rationnelle si n est impair, égale au produit
d'une fraction rationnelle par le radical y^i — 2ckx'^ +- x* si n est pair. Cette fonction transforme donc la première expression différentielle en une autre de la même forme.
Cette équation peut s'écrire
ii-iax'-hx*] i-^j =w'(i-2aX'+X^),
OU
On en déduit, en différentiant,
(.-2a^-4.^;-^ -.iccx-x^)-^=n^[x^--y
et, en remplaçant X par sa valeur ^ .
Lorsque n est impair, V et V, sont des polynômes entiers en a?, le premier pair et du degré ti'- — i, le second impair et du degré n^. Les numérateurs des deux fractions précédentes sont donc des polynômes entiers pairs, le premier du degré in^^ le second du degré in^ + 2; les dénominateurs V et Vj étant premiers entre eux, il en résulte que chacun des numérateurs est divisible par le dénominateur correspondant, et que le quotient est un polynôme pair du second degré, tel que Ga?' -h G'. La première fraction se réduisant à 2a " et, par conséquent, à zéro pour 07—0, la constante G' est nulle. Le terme de V, du degré
le plus élevé est (—1) " a?"'; le terme le plus élevé dans le second numérateur est n^a?-"'"^'*; en le divisant par le terme le plus élevé a;'"* du second dénominateur, on obtient la constante G^ti^. On conclut de là que les deux polynômes V et V, vérifient les deux équations différentielles simultanées
