V.^;-^^) J-M«^-^')V.;^+«'(V'-^'Vî)=o

Ce sont les intégrales de ces deux équations différentielles, auxquelles

dY dV,

iix ax

dY dY

on joint le^ conditions initiales V— i, V, -- o, — ^ = o.

pour 07 = o.

Lorsque /i est pair, le numérateur Vj est de la forme t^, \/i — 27.x^-^ûo\ Vt étant un polynôme entier impair du degré n- — 3. Le premier numérateur est un polynôme entier pair du degré in^ -h 2. On reconnaît aisément que le second numérateur est aussi un polynôme entier pair du degré a/i^. On en conclut, comme précédemmeni, que les deux fractions sont égales à un même quotient entier Gx- -+- G'. En faisant

x — o dans la première fraction, on trouve G'— o; en divisant les termes les plus élevés du numérateur et du dénominateur de cette même fraction, on trouve G = n^. Ainsi les deux fonctions V et V, vérifient encore les deux équations différentiel les (58).

Les équations (58) peuvent être mises sous la forme

j D,[A(^)D.log^] -f n'(X-' - a;') .-- o, (59)

D,[A(.r)D,log^] + n^l~ - x^^ = o,

en représentant par ^ soit la fonction V, soit la fonction Vi, et désignant par A (a?) le radical \fi — 2ax^ -h x\ Si, entre l'équation (56) et l'une ou l'autre des équations (Sg), on éliminait X, il est clair qu'on arriverait à une même équation difTérentielle du troisième ordre par rapport à la fonction ^ de la variable œ. Cette équation admet les solutions particulières ^ = V, ^ = V,. Pour obtenir l'intégrale générale, il suffit évidemment de considérer l'intégrale générale de l'équation (55) et de la substituer dans l'une des équations (ôq); la valeur de ^ sera donnée ensuite par deux quadratures. L'équation (55) admet pour intégrale générale

|3 étant une constante arbitraire, ou, en posant h-~ \/kX{^) et rempla-

çant \/k\{nz) par sa valeur^' en fonction de œ.

,f. , ^VV,A(A)4-As/V^-2aV^Vî-f-Vî

De la première des équations (59) on déduit ensuite

(61) ïog^=--J^Jn^{X^-x^)dx.

Multiplication de V argument dans les intégrales de seconde espèce.

346. La formule (i3) du n° 273, dans laquelle on remplace z par nz, devient

De la première des formules (4o) du a° 342, on déduit

DJog0(/i2) = n*D,log9(z) -t-D,logV; .

on en conclut

(62) Ç(/izj = «Ç(2)-^D.logV---«Ç(z)-^^^l^DJogV.

Multiplication de l' argument et du paramètre dans les intégrales de troisième espèce.

347. La formule (22) du n° 275, dans laquelle on remplace z et a par nz et «a, devient

T¥/ \ 6'(na) I, Q\n{z — a)'\

n {nz, na) --=^ nz -^ — -' 4 - log ^— ^ '-i • .

d{na) 2 ^ ô[n{z -h a)]

On en déduit

TT/ ^ ,TT/ ^ r ^'(««) J'ia)! I, e[n{z-a)]

Ulnz,na)-n^niz,a) = z\n^^-n^-^-^l^-,-log '...^ J^'

t 0[nf 2 -4- a]]

Si l'on pose a?, = y/^X(z — a), 0?^ — \Jk'k{z + a), s = \Jkl{a), on a, en vertu de la première des formules (4o) du n° 342,

on en conclut la formule

(63) H{nz,na) ^-- n»n(z, a) 4- 2v^A(e)DJogV(e) ~v - log ^|^'-J.

2 Y ( ^jy