IX

^oî)

349. Nous avons appelé ^ et ^ le multiplicateur et le module relatifs aux périodes w, w'; nous appellerons de même g^ et k^ le multiplicateur et le module relatifs aux périodes - > i>'. Les formules précédentes

peuvent être mises sous la forme

-Mz)(S„

les lettres $ désignant des polynômes entiers pairs en X(z), du degré /i— I, En divisant membre à membre les trois dernières formules par la première, on en déduit

fx(z)(£.

En faisant z ~ o dans les équations (i), on trouve les valeurs des trois constantes \lkt , sjk\ , gf , telles qu'elles sont définies par les formules (17) du n°76 et (24) du n*' 159,

n / ,-rr iT-.'

5) v^.-^fr-n-t^v v*',-v'."^n / «^

ir 11

Des formules (i) on déduit aussi

(-^)=-VI;n"(-pi)-

Les symboles \/k et \/k' désignent des quantités bien déterminées; afin de simplifier les notations, nous avons jusqu'à présent représenté

le quotient ou le produit de ces deux quantités par i/y ou \/kk'; de

même, dans les formules précédentes, les expressions y'^» \lk*", et par

exemple y p^» désignent les quantités (yjk)", (yjk')", ^",.^:.

Division de la seconde période par un nombre impair.

350. La division de la seconde période s'opère de la même manière. La fonction 0 iz, w, ~ j, ou plus simplement Q (^» — )» admet les zéros

ai'

z — mtù -H iim' -T i) — et satisfait aux relations

La fonction

su

formée par le produit des n fonctions 9 iz -\- p—U que l'on obtient en donnant à /7 les /i valeurs entières consécutives —

-5 admet les mêmes zéros et satisfait aux mêmes rela-

tions; car, lorsqu'on remplace z par z -\- —■> chaque facteur devient égal au suivant, et le dernier devient égal au premier multiplié par -.e~^('^^j), Les deux fonctions 6 [z, —]^f{z) sont donc dans un

rapport constant. En remplaçant dans cette relation z par l'une des quantités z -+--•> z -{- —^ z 4- — — —, on obtient les quatre formules

BAz,

il)

analogues aux formules (i). On en déduit de la même manière

pr=

e.iz) U 9Hz)

e,[z,-.]9Ao)e"->io)

eAo,

OV.z)

351 . Nous appellerons g^ et k^ le multiplicateur et le module relatifs aux périodes w, — • Des formules précédentes on déduit

= v{z) TT I i-fr

les lettres $' désignant encore des polynômes entiers pairs en X(z) du degré /i — i, et l'on a

En faisant z =^ o dans les équations (7), on trouve, comme précédemment,

(lO

f^MT^

S46 LIVRE VJl. - CHAPITRE IV.

Des formules (7) on déduit aussi

^{-i)-'WÎ n^h"":^

»'\ , /If II', tt' { m'

(^■^)=-Vi nr{-^-^i)

352. Remarque. — Les relations établies au ri° 348 montrent que les fonctions ôlz,-^ w' ) sont égales à des polynômes entiers et homogènes, du degré 7î, par rapport aux fonctions ^(2,0), œ'). Les relations du n° 350, dans lesquelles on remplace w par -> montrent que les fonctions

ôlz, -j— I sont égales à des polynômes entiers ethomogënes, du degrés,

par rapport aux fonctions Ô Iz, -5 w' j ; en mettant à la place de ces dernières leurs valeurs, nous obtiendrons les expressions des fonctions ôlz,--, --j par des polynômes entiers, du degré n'^, par rapport aux fonctions Q{z, «, w'). Les fonctions 6{z, w, w') étant homogènes par rapport aux trois lettres z, co, w' (n° 73), les fonctions ôlz, --, --J

sont les mêmes que 6{nz, w, w'); nous arriverons ainsi, par deux opérations successives, aux polynômes que nous avons obtenus directement dans le Chapitre précédent (n°* 330 et 331).

Le même mode de transformation s'applique aux fonctions elliptiques. Concevons que l'on divise par /z, d'abord la première période, puis la seconde; après la seconde opération, on retrouve évidemment le module primitif^ et le multiplicateur ng. Les formules (10) et (1 1), dans lesquelles on remplace ^ et ^ par g, et ^, , et g2 par ng, donnent

les expressions de liz, -, — J, ix{z, -? — )» v (z, -?

^l^^'^'nj'^^^'n'TTJ par des frac

lions rationnelles en llz, -, w' J » ijif^, -^ w')» vfz, -, w' )? du

degré n; mais les formules (3) et (4) donnent les expressions de ces dernières fonctions par des fractions rationnelles en X(z, w, w'), |ut,(^, w, co'), V (z, w, «'); en substituant ces valeurs dans les formules précédentes, on obtiendra les expressions des fonctions >. (wz), ii{nz), v{nz) par des fractions rationnelles en X(z), p.(z), v(z), du degré n'.

En effectuant la même opération avec les formules (6) et («2), on trouve

:.3) •,.(-)= {^' ri ri "(--/-I-*^')

i4M/re méthode.

353. Au lieu d'exprimer les nouvelles fonctions elliptiques par des produits, on peut les exprimer par des sommes. Les fonctions

admettant les périodes w, w', la somme des résidus de chacune d'elles dans un parallélogramme (w, «') est nulle. Considérons le parallélogramme qui a pour sommets les points =±i -, ±: - -h w', et supposons

le point t situé à l'intérieur. Les infinis des fonctions dans ce pa-

Si8 LIVRE VII. - CHAPITliE IV.

rallélogramme sont z - t et z — - P •> P variant de —

à —^' En remplaçant à la fin / par z, on obtient les équations

K-^)=ft i ^"y^h"^'

0» \ eft

l)Pfi(2 + /?--M

Si l'on met à part le terme qui correspond h p ~ o et si l'on groupe les autres termes deux à deux à l'aide des formules (3) du n'^SlO, il

vient

"^'^-'yi^{p'i^^{pl)

'^^'■nl=g,