Les fonctions

l-^-z-vW v(./^lvl/-.+ ^

admettant de même les périodes w, w', la somme des résidus de chacune d'elles dans un parallélogramme (w, w') est nulle. Nous "prendrons les

mêmes parallélogrammes que précédemment et nous supposerons le point t à l'intérieur. Les infinis des fonctions dans le parallélogramme

sont 2 = / et 2 ~~ '- p — 1 p variant de

ainsi

a On trouve

d'où

- i-/.aM/>- U^(z)

Nous ferons remarquer que les formules (i4) et (i6) sont des conséquences des formules (4) et (lo). Considérons, par exemple, la première des équations (/j); si l'on y regarde X(s,-> w'j comme une

quantité donnée et ^{z) comme l'inconnue, l'équation est du degré n par rapport à cette inconnue; le premier membre ne changeant pas

quand on y remplace z par z -h — » on en conclut que les n quantités

représentées par la formule llz -h p^~U dans laquelle/? reçoit /i valeurs entières consécutives, sont les n racines de l'équation; la somme

des racines étant é^ale à ~^-l Iz, -\ oo'h on a ^ gk \ 71 J

355. La combinaison des formules (i4) et (i6) donne l'expression des fonctions 'k{nz), p.[nz), v{nz) par des sommes. On a, en effet, d'après la première des formules (17),

/(n2, w, &/) = / 2, -, — = ^— 7- > / z -1- fl--5 -5 w' 5 \ n n J nglî ^j \ ^ n n J

(&)' Cl) ^

z -\- q — •> - 5 w' J par sa valeur donnée par la première des formules (i 4)»

(.9) Unz) = )^ ^ ^ (,),x(^,+p^ + ,^^

On a de même

(20) ^{nz)^-^^^-^ ^ ]^ (0/'-V.(.-4-/>^'-l-^^^)

On obtient directement ces dernières équations en appliquant la méthode aux trois fonctions

/(/iz)/ ( i — 2 -I j, iJ.{nz)ii[t—z-A j» v(«2)vU — z-l J,

qui admettent les deux périodes w, w'. Les infinis contenus dans le parai-

DIVISION DE L'UNE DES PÉRIODES. Soi

lelogramme considère précédemment sont z^t ei z = — —p-^ ~"^^' ^ et ^ variant de - ^^- à ^-^ Si l'on met à part le facteur qui

correspond à/? = o, ^ = o et si l'on groupe ensuite les termes deux à deux, on en déduit ,

Il — I

a( nz ) = ^ u. (z ) I -r 2 > - — .', *"' , ■ î

la lettre « désignant les valeurs de la quantité p- -}- y — » que l'on

obtient quand on combine avec p--o les valeurs positives i , 2, . . . ,

de q^ et avec les valeurs positives 1,2,..., de p les n valeurs o,

±: I, ±.2, . . . , dz ^^^^ de ^ (n°330). D'après la remarque du numéro précédent, elles sont aussi des conséquences des formules (1 4) du n*'332.

Division de la première période par un nombre pair. 356. Le raisonnement du n** 348 conduit aux formules

dans lesquelles/? reçoit les n valeurs entières consécutives — ( - - 1

— I, o, 1, . , I) -; on les déduit de la première en ajoutant à z

une des quantités — ; ? — +- — • Ln ajroupant deux a deux

* 2 2 2/1 2 2AI 2 O r

les facteurs, excepté ceux qui, dans les deux premières, correspondent a »" o et à o — -) on obtient les formules

r/-^A — =«'(^'^"(^) n «■('>- -Kr'''' '

que l'on peut mettre sous la forme

8»(z)ff

,,\;/ oA-n .-*■-- — ^^■(^' r"^"

les lettres $, $,, cg'a, $3 désignant des polynômes entiers pairs en X {z), les deux premiers du degré n — 2, les deux derniers du degré n. On a ainsi