Remarquons que les quantités/? - et (- —7^) ^ ou - —p
prenant les mêmes valeurs, quand p varie de i à i , on a, en vertu
des relations (19) du n° 77,
« n ni ,,\ /»=: 1 p — 1 p- 1 / W\
nK''K) = riH"-'':;)=ii -H^.' nK''7,)=nK^''^) = ''"n —{'
ces trois relations se réduisent à deux ^ .
Les quantités (2/? — i) — - et f/i — (2/? - i)] — ou - — (2/7 — i) —
prenant aussi les mêmes valeurs quand p varie de i à -> oii trouve de
même
En faisant z =^ o dans les équations (23), on obtient ensuite le multiplicateur ^, et le module k, des nouvelles fonctions elliptiques
(-9) v7M-rn^{(^/^-0^]- ^'- — '^^^^
pz=i
Division de la seconde période par un nombre pair. 358. On obtient de la même manière les formules '
dans lesquelles p reçoit les n valeurs consécutives — (-— ii, — I , o, I , . . . , -; on les déduit de la première en ajoutant à z l'une des quantités -5 — ! ■> — i ! Par le groupement des facteurs,
^ 2 22W22W2 or
elles se mettent sous la forme
ou
et l'on a
-Mz)
ii{z)v{z)
\ ' nj y?'
On trouve, comme dans le numéro précédent,
n np-i^i^"' ~'^'" n ^pj^i^i^-^
et, en faisant z= o dans les équations (3o),
359. Remarque. — La première des équations (26), dont on élève
les deux membres au carré et dans laquelle on regarde llz,-) comme
une quantité connue etX^(z) comme l'inconnue, est du degré n par rapport à cette inconnue; les n racines sont représentées par la formule
l'^iz -+- p-U où p reçoit n valeurs entières consécutives; la somme
des racines étant connue, il en résulte la relation
De la deuxième et de la troisième des équations (26) on déduit de même
La considération du produit des racines dans les deux premières équations conduit aux relations
p — Il — I
,39, ,^,'^^^,-,y.y'L JI ,^,^„l
p=zo
Les formules (33), relatives à la division de la seconde période, donne-
raient des relations analogues.
Dans ce qui précède, nous avons exprimé les fonctions ôlz, -, &>'], ôlz, w, — J au moyen des fonctions 0{z, w, w'). Les fonctions
^(z, oj, — j» ^Iz, -, w' j s'expriment par des formules toutes pareilles au moyen des fonctions ^{z, w, w'}.
Nombre des fonctions provenant de la division de l'une des périodes de l'un des couples qui correspondent à un module donné.
360. Nous savons qu'à un module donné k, le multiplicateur g étant supposé égal à l'unité, correspondent une infinité de couples de périodes elliptiques. Désignons par aw, w' l'un d'eux, par exemple celui que nous avons déterminé, au n° 221, à l'aide d'intégrales définies; tous les autres 2a.>,, oi\ sont définis par les relations
avec la condition (4« -+- i) (4^'+ 0 — i6^a'=i (n°232); mais nous considérerons d'une manière plus générale les couples de périodes définis par les relations
(4i) ù) :^ (2a -+- i)w, -h 260/,, w' --'aa'w, H- (26' H- i)w'i>
avec la condition
(42) (2rt-^l)(26'-+-l) — 4ftrt'::^^i;
car les fonctions X(z, w,, w'J, qui leur correspondent, sont égales à d- X (z, w, co') et ont pour modules ± ky de sorte que les polynômes ^ï qui
entrent dans les expressions des fonctions X(z, — ? w', J > xfz, w,, — )
renferment la même fonction donnée X^(2, ^), la même constante ^^
€t ne diffèrent que par la valeur de l'une des constantes X'^ y--, ky
XM— 5^J, X^(— 5^), X^l--. ^j. Dans ce qui suit, nous ne distinguerons pas deux fonctions égales et de signes contraires, ou ayant leurs modules égaux et de signes contraires.
Nous remarquerons d'abord que, lorsque n est impair, la division de la seconde période donne les mêmes fonctions que celle de la première; car deux couples de périodes satisfaisant aux relations (40 sont liés par des relations de même forme
Wj — ( 2 «I -+- I ) &)| -f- 2 6, C.)', , w'j --= 2 rt'i C0| + (26',+ I ) &)', ,
avec la seule condition (201 t- i) (26'^-+- i) — 4^i «i ~ •; d'où
0), H- 2 0, — 1 CO j =r 2 a w, 4- (20, -— ï)n — - •
Pour que les deux fonctions "klz, —, w'^ J» x(z, w,, — ] soient dans un
rapport constant, il est nécessaire et il suffit que 2a, -h i soit divisible par n, ce qui est impossible quand n est pair; lorsque n est impair et égal à 2m -f- I , il suffira de prendre a, — b, = m, a, = b\ = — m; les deux fonctions seront alors égales et leurs modules égaux ou égaux et de signes contraires.
361. Proposons-nous maintenant de chercher le nombre des fonc-
lions X (z, w,, — )» quand /i est impair. Les relations (4») renferment
quatre nombres entiers 2a-\-i, h, a', 26'-+-!, assujettis à la seule condition (42). Considérons tous les systèmes de nombres entiers dans lesquels le plus grand commun diviseur de aa -h 1 et n soit un même nombre n'\ posons n = n'n'\ 2a + i = 7z'(2«, -+- i), les nombres n" et 2a, -h I étant premiers entre eux. La première des relations (40 devient
— - =: (aa,-t- i)o),-î- an b-^n n
Puisque les nombres 2a, -h" i et t\n"b sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres entiers a" et 26"-+- 1 satisfaisant à la condition ,
(43) (îfl, -+-i){26"-f 1)— 4n"6a".^i.
D'après cela, si Ton pose
on voit que le couple des périodes w, , — ^ est équivalent au couple — •> œ", et que la fonction Xfz, w,,— ) est égale à driXiz, —,-> w"j • Des relations (42) et (43), retranchées membre à membre, on déduit
(2«, + i)[26"-M - n'(26'+ i)] z= 46(n"rt''- «'),
et par suite
^^^' { ib" •r-i — n'{ib'^i)^^bt,
t étant un nombre entier. Si, dans la valeur de w", on remplace a" et 2è"-i-i par leurs valeurs tirées de ces deux équations, on trouve
Ainsi toutes les fonctions provenant de la division par n de la seconde période des couples qui sont fournis par les systèmes de nombres entiers, dans lesquels le plus grand commun diviseur de 2a-i-i et n
est égal à un même nombre n' , sont comprises dans la formule
(45) Xf^, &),,^) ==hX\ z, ^
On pourra effectuer l'opération à l'aide de deux divisions successives. Onexprinierad'abordXfz, ^7 w'j par une fraction rationnelle en X(2,w,w')
du degré n', puis X\ s, -^j — ~- J par une fraction rationnelle du
degré n" en liz, — ,? w'-f- it—A ou X(z, —,i w') •
362. Nous remarquons que les trois nombres n', n", l n'ont pas de facteur commun; car, si cela avait lieu, d'après la seconde des équations (44)» ce facteur commun diviserait 2 è"+ i et, par suite, le premier membre de l'équation (43), ce qui est impossible. On en conclut que le nombre entier t, qui entre dans la formule (45), n'est pas arbitraire; il doit être premier avec le plus grand commun diviseur à des deux nombres n' et n" . Nous allons voir qu'on peut lui attribuer une valeur quelconque première avec c?. L'équation (42) est une conséquence des équations (43) et (44)- Étant donné le nombre entier / premier avec c?, proposons-nous de déterminer six nombres entiers 2«, H- r, 6, «', 26'-+- 1, a'\ ih" -^ i satisfaisant aux trois équations (43) et (44). et tels que 2«, -t- 1 soit premier avec n". Les deux équations (44) donneront immédiatement les deux nombres entiers a' et2è"+ i , quand les autres seront connus; l'équation (43), dans laquelle on remplace 2 6" 4- I par sa valeur tirée de la seconde des équations (44)» devient
(46) /l'(2rt, -4-l)(26'-f-l) -4/l"6a"z^I-4/(2fl, -|-l)^>;
le premier membre étant divisible par è, le second membre l'est aussi. En appelant i le quotient entier, on a la relation
(47) 4<(2a, H- i)6-i-ôi'=--i;
et l'équation (46) se réduit à
( 48 ) w', ( 2 a, -M ) ( 2 6' -I- I ) - - 4 ;?.", hci!' .= /'.
DIVISION DE L'UNE DES PÉRIODES. m
n\ et n\ désignant les quotients premiers entre eux des nombres n' et n" par leur plus grand commun diviseur 5. La question revient à trouver des nombres entiers satisfaisant aux deux équations (47) et (48). Les nombres donnés ^t et ^ étant premiers entre eux, on peut déterminer des nombres entiers x et t' satisfaisant à l'équation ^tx + ât'—i. Prenons l'un quelconque des nombres x; décomposons-le en un produit de trois facteurs : l'un x\ formé des facteurs premiers qui entrent dans n\; le deuxième x", des facteurs premiers qui entrent dans n\^ quels que soient d'ailleurs leurs exposants; le troisième y, des facteurs premiers étrangers à n\ et à n^. En faisant 2«, -h i = x', b = x"y, nous aurons deux nombres premiers entre eux et satisfaisant à l'équation (47)> avec la valeur correspondante de f; en outre, d'après cette relation, le nombre 2a, + i est premier avec â; comme il l'est déjà avec n\ , il l'est aussi avec n"; d'ailleurs b est premier avec n\. Les deux nombres n\(2af + i) et l\n\b, ainsi formés, étant premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres entiers 2^' -h I et a" vérifiant l'équation (48).
363. A l'inspection de la formule (45), on voit immédiatement que deux valeurs de t dont la différence est un multiple de n" donnent la même fonction; d'ailleurs, pour que deux de ces fonctions soient dans un rapport constant, il est nécessaire que leurs périodes soient équivalentes, ce qui exige, puisque le rapport — est imaginaire, que la
différence des deux valeurs de t soit un multiple de n". Si donc on ne regarde pas comme différentes deux fonctions égales et de signes contraires, on pourra dire que le nombre des fonctions qui correspondent à un plus grand commun diviseur n' entre aa + i et /i est égal au nombre des nombres inférieurs à n" et premiers avec 5, n" étant le quotient de n par n' et ù le plus grand commun diviseur entr^ n! et n". On procédera de même pour chaque diviseur du nombre n. Le raisonnement précédent montre que deux fonctions qui se rapportent à deux diviseurs différents ne sont pas dans un rapport constant. En prenant successivement tous les diviseurs, on obtiendra ainsi toutes les fonctions
Nous avons divisé par n la seconde période; on opérerait de même la division de la première période. Tous les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation (42), et dans lesquels le plus grand commun diviseur de 26'+ i et n est n\ donnent des fonctions représentées par la formule
dans laquelle t désigne encore un nombre entier premier avec <?; mais nous avons vu que ce^ fonctions sont les mêmes que les précédentes.
Dans le cas particulier où n est premier, il n'y a que deux hypothèses possibles, soit /i'= n, tï' — \, soit 7i'= i, «"= n. Si l'on divise la seconde période, la première hypothèse donne la fonction X(z, -5 w')» la
(co' Z, W, —
OÙ l'on attribue à / les /i valeurs o, i, 2,. . . , ti — i, ce qui fait en tout n -h I fonctions différentes. Si l'on divise la première période, la première hypothèse donne la fonction X(z, w, — ji la seconde les n fonctions X(z, ^- ^j w'jj ce qui reproduit les mêmes fonctions dans
un autre ordre.
364. Considérons actuellement le cas où le diviseur n est un nombre pair, que nous représenterons par 2^^,, n^ étant impair. Divisons d'abord la seconde période. En posant /i, = t\!t^' et appelant ^ le plus grand commun diviseur de ri et ri\ on démontre, comme précédemment, que les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation (42), et dans lesquels le plus grand commun diviseur de 2«H- i et n ou «, est égal à ri ^ donnent les fonctions comprises dans la formule
où t désigne un nombre entier premier avec à. En divisant la première
période, on arrive de même à la formule
t désignant toujours un nombre premier avec &. Les fonctions représentées par ces deux formules sont différentes. Le nombre des fonctions données par chacune d'elles et se rapportant à un plus grand commun diviseur n' est égal au nombre des nombres inférieurs à îa*/i" et premiers avec $.
Nous avons vu (n° 236), que, si 2&), w' sont des périodes elliptiques de la fonction X(z, ^), la fonction ^{z, k') admet les périodes elliptiques — 2&)'i, wi. En comparant les formules des n°* 349 et 351, 357 et 358,
on reconnaît que les deux fonctions Xf^, w, --)> XU, 5 wn ont
des multiplicateurs égaux et des modules complémentaires, et de même
les deux fonctions X(z, -\ «')» X(s, — w't, — j-
• Division par deux.
365. D'après leur définition par les formules (6) du n° 74, les valeurs des fondions C(z) pour une valeur de z de la forme2 = «w h-6u', a et è étant des constantes quelconques, sont des fonctions de la quan-
tité imaginaire p = - ;= r -f siy dans laquelle le coefficient s est positif
et différent de zéro ; si l'on représente, à la façon ordinaire, la variable p par un point du plan ayant pour coordonnées r et s, ces valeurs des fonctions Q sont des fonctions holomorphes de p pour toute la moitié du plan située au-dessus de l'axe des x. Les quantités sjk et sjk', définies par les formules (17) du n^ 76, sont, d'après cela, des fonctions holomorphes de p; en considérant leurs expressions en produits par les formules (29) et (3o) du n° 205, on voit que leurs racines carrées sont
elles-mêmes holomorphes par rapport à p; nous poserons
l-^qim-l .^^ j — g(2m— i)rfi
^^=nfT;i=rr=n;
f- flfî»'-" J.X 1 4- e(''""-','"f'
Voici d'autres fonctions holomorphes de p qui nous seront utiles : i" Si, dans les formules (i3) du n° 75, on fait z = — -U on trouve
d'où
°'',i)=ni)' Hfy=n4"
(?)=^' ^(i)=^"(ï)' Kî
En définissant le radical \j\ + k' au moyen de X (7 l? on a (53) xf^)==-=L=, J^\ = -iL., vf^'i^v/P.
En définissant sjx •- k' par la relation sj \ — k' ->< sj i -{- k' — k, on en déduit
• f,,, ./ti) w'\ 1 /w w'\ —i\JI(' /co m'\ . rr,
54 > -+ — — , a - + — = — — ^ V 7+— ^-iV'^'r
2'' Si, dans les formules (i4) du n° 75, on fait z = — ^^ on trouve d'où
En définissant le radical \'i -hk par la valeur de v ( -j j ? on a
'-' Kf)=i' Kt)-t' "(f)=^-^-
En définissant \Ji — k par la relation v^i — ^ x y/i + ^ — ^', on en déduit
3° Si, dans les formules (i5) du n° 75, on fait z — - - ,— » on trouve
d'où Ton déduit et, par suite,
En définissant le radical \jk -\- ik' au moyen de X (— 7— ) ' on a
/ir N ^/&>+«'\ s/f>-hi/>' /ro+6)'\ /A' -V /&)+«'\ /y-, ,7 ^, -7
En définissant \Jk — ik' par la relation \/k — iX:' x yjk -+- ik' = i , on en déduit
(58) x("-^) = ^^, ^(rr) = \/P' v(^')=^V*^eT. 366. Divisons maintenant par deux la première période. Les for-
mules (29) du n'' 357 donnent
et les formules (26) du n° 356 se réduisent à
(bo) ."U»
D'aprèfe la dernière de ces formules, on a
iiTBo;}
La quantité y/^^ est la fonction holomorphe de p que l'on obtient en remplaçant p par 2/3 dans l'expression de sjk'; d'autre part, en vertu
\/2 \jl?
de ce qui précède, la quantité -^-=^=^= est une fonction holomorphe
de p; ces deux fonctions ont des valeurs, réelles positives et égales, pour toutes les valeurs de p de la forme p = .«; leur rapport est aussi holomorphe, et conserve une valeur constante, quand la variable p décrit la partie positive de l'axe des j; on en conclut, d'après le corollaire du n° 114, qu'il reste constant dans tout le demi-plan. On a donc, pour toutes les valeurs de p dans lesquelles s est positif,
(6.) Vï'i=-^^,-
Des formules du n° 205 on déduit, par un raisonnement analogue,
8(0)9,(0) ■ ë',(o)9,(o) ^fV «•"'
et les formules (24) du n*' 356 deviennent
\ ''{'' i) = V \/^ [/mPe'iz)-^T--nP6'Az)]. 367. En divisant par deux la seconde période, on a de même
.^,. ) / 6,'\ tx(z)v(z)
i — If}?{z)
k'K'[z) On a aussi
4i) ^ifcl) ^i /z
9,(0) 03(0) e\{o)0{o) ^Â^VéT^'
d'où
368. Remarque I. — De la division par deux de l'une des périodes, M. Hermite {Comptes rendus, i863) a déduit des formules qui donnent immédiatement les expressions en séries de sjk et de sjk' trouvées par Jacobi. Si l'on considère les fonctions 0 formées avec les deux constantes w et w + cù', d'après les formules (52), la quantité v^^ devient
e'«', et les formules du numéro précédent donnent
les fonctions 0 des seconds membres étant celles qui sont formées avec 00 et w'. A l'aide des deux premières formules de chacun des groupes (62), (65) et {^^)i on obtient les expressions suivantes des fonctions elliptiques ; '
* ^ 0 ^2, -, &yj ' 0^1 z, M, — \
Si, dans les formules (8) du n° 74, on remplace q par l'une des quantités q-^ \jq, i\lq, et, dans le premier cas, « par-, on obtient les développements des fonctions 0 relatives aux trois couples de constantes
1-1 w'j» (w, — j , (co, ''^ " j • En faisant ensuite z = o dans les deux dernières des équations précédentes, on trouve
n(n — il n(n— i)
'sjk'
nfn-t-t)
ii(ii-i)
-I) - {'xn-\)q
Y (— i)''-'(2n — i)gM«-i)
Des formules précédentes on déduit aussi les expressions de certaines fonctions méromorphes considérées au n** 226,
^[i + X(z, w, w'j] [i -t- /rX(z, w, w')]= X(z, 2w, w') +
/i :; r-^v -7-^^ Tô / /. A-'Afz, 2M, w')
V[i + X{z, &), &)')] [i — /r^(z, w, &)')] = /ui(z, 2w, w')H — —'
V\^Zf 2 Ci), (t) j
