Remarque IL — Concevons que l'on divise la première pé
riode plusieurs fois successivement par deux et appelons kc,, k^,..., les modules des fonctions elliptiques correspondantes. En remplaçant q par q-'" dans la secondé des formules (52), on obtient
^*û = nT
.(jn — I j ?"
L'exposant (2/2 - 1)2'", dans lequel n et m sont quelconques, désignant tous les nombres pairs, on en déduit
v/^;/^>;-..-nr-f^
et, en vertu des formules du n° 205, où l'on fait ^ — 1 ,
En remplaçant k'.^, k'. , . . . par leurs valeurs données par la formule (61), on a
et, en divisant membre à membre cette équation par la précédente,
Si l'on pose
TT I + k' 1 -f- A' 1 -H A' I -F A'
on a successivement
^' - If' a-, 2
at l ~r
et la relation précédente devient
, . (ti a, a, n-, (71) - =
7r flj «3 CTi
On en conclut, comme Ta observé Gauss, que les quantités a tendent vers une limite égale à -•, lesquantitésôtendent vers la même limite. Dans la formule
"=' I -t- 2 </'"-' CCS ^ — - -h qH^-) v(z,«,co')=:v'Fr[
«=. I — 2fl'"-' CCS - -f- o*('»-'J
déduite des formules (20) du n° 202, remplaçons q successivement par q-, q\ q^,. . ., sans changer w, et faisons le produit des fonctions ainsi obtenues; nous aurons
"=^ 1 -f- 2fl'"C0S r- </'"
. v(z, w, 2a)')v(z, w, 4û>)') . . .= - \/k' TT
1 — 2^2" ces — 4- g"
et, par suite,
72 v(z, o),2&i' v(z,o), 4o)' . . .= -lang— -'5-- — -^.
Équation aux dérivées partielles de Jacobi.
370. Si dans les formules (8) du n" 74 on regarde w comme une fonction arbitraire de q, les quatre fonctions 9{z, w, w') deviennent des fonctions des deux variables indépendantes z et q, et d'après le calcul du n** 289, elles satisfont à une même équation aux dérivées
partielles
^u f,\' yu c?logco ^u
On obtient les fonctions Olz, -, w'j en remplaçant dans ces formules (8) co par - etq par q" ; en regardant encore w comme une fonction arbitraire de q, le même calcul montre que les quatre fonctions dlz, -j w'j vérifient l'équation
On obtient les fonctions 6 Iz, co, — j en remplaçant dans les for-
mules (8) y par q"; on reconnaît de la même manière que les quatre fonctions 0 Iz, w, — J satisfont aussi à l'équation (2).
Supposons maintenant que, dans toutes les fonctions précédentes, w soit la fonction de q définie par la formule (3i) du n° 205, où l'on fait g= i- Appelons k le module de la fonction l{z, w, w'), lequel est donné par la formule (29) de ce même numéro. Nous pouvons inversement regarder q comme une fonction de k; alors w est une fonction
de ^, et les fonctions Ô(z, -) w'1 , 5(z,w, — ) sont des fonctions des
deux variables indépendantes z et k. Les quantités w et w' sont aussi déterminées par les intégrales définies (3) et (5) du n** 221, où l'on fait ^= I, et elles satisfont aux relations (33) et (34) du n° 279. A l'aide de ces relations, nous avons opéré le changement de variable au n*^ 289; l'équation (2) devient ainsi
Désignons par 'f , ç?,, 92. 93. soit les quatre fonctions
,,, .^i}^^{''t) :Li^^^'(^'^) ^"jui^^'^t) 'iiii.'^^ ("'';;)
0(o, w) 9,(0, w) 0,(0, co) 03(o,w)
soit les quatre fonctions
--/îM) -^'^'(''^) -"-l'-l'^'(''^) -"Jl£.'^'("'^) ^ ' ^ ' 0(o,co')' ^ ' 0',(o,w')' ^ ' 0.(o,w')' ^ ' 03(o,w')'
ces fonctions 9 joueront le même rôle que les fonctions Al(z); en répétant le calcul du n° 290, ou trouve qu'elles satisfont aux équations
I ^- 4- ^nk'z ^' -+- 2«/r/f" ^- + (n/»" -^- n'/r'z')o. = o, 1 ^z* Dz D/r ^ y . >
^' -t- 2«A-'z ^' -h a/i A'= ^- H- { n -f n'Â'zM ©, = o,
-T-^- + 2«A»z ^' -h an/. A-'^ '-^' 4- ( nh • i- w'A^z' ) 93 = o, Dz* Dz D/f /T.» »
et, par conséquent, les quatre fonctions
(7) U = 9(z), U. = ^/I-cp.(z), U.= y^p9.(2), U3 = -Lç3(z) •
vérifient la même équation différentielle
t>z* Dz DAr
Cette équation ne diffère de l'équation (27) du n° 339 qu'en ce que n^ est remplacé par n. Il en résulte que les quatre fonctions
(9) ^""Âi"(Tj' ^'""ÂHT)' ^'^xWzY ^^""âitT)
satisfont aux équations aux dérivées partielles
- 2n/r/r' ^-J - nin-i)U, - rW z= o,
-■■^■■Li/'itiy, que l'on déduit des équations (34), (36) et (38) des n""* 340 et 341, en remplaçant n^ par n.
371. Ces quatre fonctions V ont pour expressions, à l'aide des 6,
\ ^'- 6"iz) ' '- e"{z)
s'il s'agit de la division de la première période, et des expressions toutes pareilles s'il s'agit de la seconde période.
Lorsque n est impair, on a, d'après les formules (3) du n° 349, et en vertu des relations du n" 205,
(.4) v=y/||i., v^ysp.,., v.ygï..,. y.=/è,,.
On a aussi
et, par suite,
(i5) Y,(x] = (-ifr:rny(^yy V.(r)=rv(~), V3(0-/"v(yV
Pour avoir les quatre polynômes ^J^, il suffira donc de calculer le polynôme V(a;), qui est pair et du degré /i — i . Si l'on pose Y = la^'"^ x^'" , l'équation différentielle (lo) donne une relation linéaire
( -h {n — im -\- i)(n — 7.171 -h- •2)a^"'-'^ = 0
entre trois coefficients consécutifs. Le premier coeffîcientest«^"^ = i/ ^p >
(-—) • "--' o-» /(> If-
le dernier a^ ' '' — (— i) ' t/^' / •
L'équation (35) du-n® 279, qui peut être mise sous la forme
,0) 7.TII ,j
a été établie en supposant le multiplicateur égal à l'unité; si le multiplicateur est égal à g^ cette équation devient
, , ,0/ 27ri ,.
ff^oi^a -- — — ,-y— dk.
En y remplaçant w par-j on a
6?6/ o.mzi
S\'^''7l:=- TTiTififf^y
d'oïl l'on déduit
nkk'^ dk, kTk^ dk
Pour effectuer le calcul des polynômes (J? par cette méthode, il faudra se servir de l'équation algébrique qui existe entre les modules k et^,, équation dont il sera question plus tard.
